Номер 42.5, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.5, страница 171.

42.5 Расположите числа в порядке возрастания:

a) $ \log_2 0.7 $; $ \log_2 2.6 $; $ \log_2 0.1 $; $ \log_2 \frac{1}{6} $; $ \log_2 3.7 $;

б) $ \log_{0.3} 17 $; $ \log_{0.3} 2.7 $; $ \log_{0.3} \frac{1}{2} $; $ \log_{0.3} 3 $; $ \log_{0.3} \frac{2}{3} $.

а)

Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо проанализировать свойства логарифмической функции $y = \log_a x$. В данном случае все логарифмы имеют одинаковое основание $a = 2$.

Так как основание логарифма $a = 2 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение логарифма $\log_2 x$. Формально, если $x_1 < x_2$, то $\log_2 x_1 < \log_2 x_2$.

Следовательно, чтобы расположить данные логарифмы в порядке возрастания, нам нужно сравнить их аргументы и расположить их в порядке возрастания.

Аргументы логарифмов: $0,7$; $2,6$; $0,1$; $\frac{1}{6}$; $3,7$.

Для удобства сравнения, представим дробь $\frac{1}{6}$ в виде десятичной: $\frac{1}{6} \approx 0,167$.

Теперь расположим аргументы в порядке возрастания:$0,1 < \frac{1}{6} < 0,7 < 2,6 < 3,7$.

Поскольку функция $y = \log_2 x$ возрастающая, порядок для логарифмов будет таким же.

Ответ: $\log_2 0,1$; $\log_2 \frac{1}{6}$; $\log_2 0,7$; $\log_2 2,6$; $\log_2 3,7$.

б)

В этом случае все логарифмы имеют основание $a = 0,3$.

Так как основание логарифма $a = 0,3$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{0,3} x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение логарифма $\log_{0,3} x$. Формально, если $x_1 < x_2$, то $\log_{0,3} x_1 > \log_{0,3} x_2$.

Следовательно, чтобы расположить данные логарифмы в порядке возрастания, нам нужно сравнить их аргументы и расположить их в порядке убывания.

Аргументы логарифмов: $17$; $2,7$; $\frac{1}{2}$; $3$; $\frac{2}{3}$.

Для удобства сравнения, представим дроби в виде десятичных: $\frac{1}{2} = 0,5$; $\frac{2}{3} \approx 0,667$.

Теперь расположим аргументы в порядке убывания:$17 > 3 > 2,7 > \frac{2}{3} > \frac{1}{2}$.

Поскольку функция $y = \log_{0,3} x$ убывающая, порядок для логарифмов будет обратным порядку их аргументов. Таким образом, наименьшему значению логарифма соответствует наибольший аргумент.

Ответ: $\log_{0,3} 17$; $\log_{0,3} 3$; $\log_{0,3} 2,7$; $\log_{0,3} \frac{2}{3}$; $\log_{0,3} \frac{1}{2}$.