Номер 42.6, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.6, страница 171.

42.6 Сравните числа:

a) $\log_3 4$ и $\sqrt[3]{9}$;

б) $\log_{0.5} 3$ и $\sin 3$;

в) $\log_2 5$ и $\sqrt[3]{7}$;

г) $\lg 0.2$ и $\cos 0.2$.

а) Сравним числа $\log_3 4$ и $\sqrt[3]{9}$.
Оценим каждое из этих чисел, сравнив их с числом 2.
Рассмотрим первое число $\log_3 4$. Сравним его с $2$. Представим $2$ в виде логарифма по основанию 3: $2 = \log_3 3^2 = \log_3 9$.Так как логарифмическая функция $y=\log_3 x$ с основанием $3 > 1$ является возрастающей, и $4 < 9$, то $\log_3 4 < \log_3 9$.Следовательно, $\log_3 4 < 2$.
Рассмотрим второе число $\sqrt[3]{9}$. Сравним его с $2$. Представим $2$ в виде корня третьей степени: $2 = \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8}$.Так как функция $y=\sqrt[3]{x}$ является возрастающей, и $9 > 8$, то $\sqrt[3]{9} > \sqrt[3]{8}$.Следовательно, $\sqrt[3]{9} > 2$.
Мы получили, что $\log_3 4 < 2$ и $\sqrt[3]{9} > 2$. Отсюда следует, что $\log_3 4 < \sqrt[3]{9}$.
Ответ: $\log_3 4 < \sqrt[3]{9}$.

б) Сравним числа $\log_{0,5} 3$ и $\sin 3$.
Рассмотрим первое число $\log_{0,5} 3$. Основание логарифма $0,5$ удовлетворяет условию $0 < 0,5 < 1$, поэтому логарифмическая функция $y=\log_{0,5} x$ является убывающей.Так как $3 > 1$, то $\log_{0,5} 3 < \log_{0,5} 1$.Поскольку $\log_{0,5} 1 = 0$, то $\log_{0,5} 3 < 0$. То есть $\log_{0,5} 3$ — отрицательное число.
Рассмотрим второе число $\sin 3$. Аргумент функции синус (число 3) задан в радианах.Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, получаем, что $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.Таким образом, выполняется неравенство $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$. Это означает, что угол в 3 радиана находится во второй координатной четверти, где значения синуса положительны.Следовательно, $\sin 3 > 0$.
Поскольку любое отрицательное число меньше любого положительного числа, то $\log_{0,5} 3 < \sin 3$.
Ответ: $\log_{0,5} 3 < \sin 3$.

в) Сравним числа $\log_2 5$ и $\sqrt[3]{7}$.
Оценим каждое из этих чисел, сравнив их с числом 2.
Рассмотрим первое число $\log_2 5$. Сравним его с $2$. Представим $2$ в виде логарифма по основанию 2: $2 = \log_2 2^2 = \log_2 4$.Так как логарифмическая функция $y=\log_2 x$ с основанием $2 > 1$ является возрастающей, и $5 > 4$, то $\log_2 5 > \log_2 4$.Следовательно, $\log_2 5 > 2$.
Рассмотрим второе число $\sqrt[3]{7}$. Сравним его с $2$. Представим $2$ в виде корня третьей степени: $2 = \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8}$.Так как функция $y=\sqrt[3]{x}$ является возрастающей, и $7 < 8$, то $\sqrt[3]{7} < \sqrt[3]{8}$.Следовательно, $\sqrt[3]{7} < 2$.
Мы получили, что $\log_2 5 > 2$ и $\sqrt[3]{7} < 2$. Отсюда следует, что $\log_2 5 > \sqrt[3]{7}$.
Ответ: $\log_2 5 > \sqrt[3]{7}$.

г) Сравним числа $\lg 0,2$ и $\cos 0,2$.
Рассмотрим первое число $\lg 0,2$. Это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.Так как основание $10 > 1$, функция $y=\lg x$ является возрастающей.Поскольку $0,2 < 1$, то $\lg 0,2 < \lg 1$.Так как $\lg 1 = 0$, получаем $\lg 0,2 < 0$. То есть $\lg 0,2$ — отрицательное число.
Рассмотрим второе число $\cos 0,2$. Аргумент функции косинус (число 0,2) задан в радианах.Используя приближенное значение $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, получаем, что $0 < 0,2 < \frac{\pi}{2}$.Это означает, что угол в 0,2 радиана находится в первой координатной четверти, где значения косинуса положительны.Следовательно, $\cos 0,2 > 0$.
Поскольку любое отрицательное число меньше любого положительного числа, то $\lg 0,2 < \cos 0,2$.
Ответ: $\lg 0,2 < \cos 0,2$.