Номер 42.10, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.10, страница 172.

42.10 Найдите наибольшее значение функции:

а) $y = \log_{\frac{1}{2}} (x^2 + 4);$

б) $y = \log_{0.3}(x^2 - 4x + 3).$

а) Дана функция $y = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 4)$.
Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что наибольшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении ее аргумента $t(x) = x^2 + 4$.
Рассмотрим аргумент функции — выражение $t(x) = x^2 + 4$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине.
Координата x вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.
Найдем наименьшее значение аргумента, подставив $x = 0$ в выражение $t(x)$:
$t_{min} = t(0) = 0^2 + 4 = 4$.
Поскольку наименьшее значение аргумента $t_{min} = 4 > 0$, оно входит в область допустимых значений аргумента логарифма.
Теперь найдем наибольшее значение функции $y$, подставив в нее наименьшее значение аргумента:
$y_{max} = \log_{\frac{1}{2}}(t_{min}) = \log_{\frac{1}{2}}(4)$.
Вычислим значение логарифма:
$\log_{\frac{1}{2}}(4) = \log_{2^{-1}}(2^2) = \frac{2}{-1} \log_2(2) = -2 \cdot 1 = -2$.
Таким образом, наибольшее значение функции равно -2.
Ответ: -2.

б) Дана функция $y = \log_{0.3}(x^2 - 4x + 3)$.
Основание логарифма $a = 0.3$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Следовательно, для нахождения наибольшего значения функции $y$ необходимо найти наименьшее значение ее аргумента $t(x) = x^2 - 4x + 3$.
Сначала определим область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x^2 - 4x + 3 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Поскольку график функции $t(x)$ — парабола с ветвями вверх, неравенство $t(x) > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$. Это и есть область определения функции $y$.
Теперь исследуем поведение аргумента $t(x) = x^2 - 4x + 3$ на этой области определения. Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. Эта точка не входит в область определения функции $y$.
На интервале $(-\infty, 1)$ функция $t(x)$ убывает, а на интервале $(3, \infty)$ — возрастает. Когда $x$ стремится к 1 слева ($x \to 1^-$) или к 3 справа ($x \to 3^+$), значение аргумента $t(x)$ стремится к 0 с положительной стороны ($t(x) \to 0^+$).
Это означает, что аргумент $t(x)$ может принимать сколь угодно малые положительные значения, но никогда не достигает своего наименьшего значения на области определения.
Поскольку функция $y = \log_{0.3}(t)$ является убывающей, ее значение будет тем больше, чем меньше значение ее аргумента $t$.
Так как значение аргумента $t(x)$ может быть сколь угодно близким к нулю ($t(x) \to 0^+$), значение функции $y = \log_{0.3}(t(x))$ будет неограниченно возрастать.
$\lim_{t \to 0^+} \log_{0.3}(t) = +\infty$.
Следовательно, функция не ограничена сверху и не имеет наибольшего значения.
Ответ: наибольшего значения не существует.