Номер 42.3, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.3, страница 171.

42.3 Сравните числа:

а) $log_4 7$ и $log_4 23$;

б) $log_{\frac{2}{3}} 0,8$ и $log_{\frac{2}{3}} 1$;

в) $log_9 \sqrt{15}$ и $log_9 13$;

г) $log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7}$ и $log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$.

а) Для сравнения чисел $\log_4 7$ и $\log_4 23$ рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_4 x$. Основание логарифма $a = 4$. Так как $a > 1$, эта функция является возрастающей на всей области определения. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним аргументы логарифмов: $7$ и $23$.

Поскольку $7 < 23$, то из свойства возрастающей функции следует, что $\log_4 7 < \log_4 23$.

Ответ: $\log_4 7 < \log_4 23$.

б) Для сравнения чисел $\log_{\frac{2}{3}} 0,8$ и $\log_{\frac{2}{3}} 1$ рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_{\frac{2}{3}} x$. Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < a < 1$, эта функция является убывающей на всей области определения. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним аргументы логарифмов: $0,8$ и $1$.

Поскольку $0,8 < 1$, то из свойства убывающей функции следует, что знак неравенства для значений логарифмов будет противоположным знаку неравенства для их аргументов. Таким образом, $\log_{\frac{2}{3}} 0,8 > \log_{\frac{2}{3}} 1$.

Ответ: $\log_{\frac{2}{3}} 0,8 > \log_{\frac{2}{3}} 1$.

в) Для сравнения чисел $\log_9 \sqrt{15}$ и $\log_9 13$ рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_9 x$. Основание логарифма $a = 9$. Так как $a > 1$, эта функция является возрастающей.

Сравним аргументы логарифмов: $\sqrt{15}$ и $13$. Чтобы сравнить эти числа, возведем их в квадрат, так как оба числа положительны.

$(\sqrt{15})^2 = 15$

$13^2 = 169$

Так как $15 < 169$, то и $\sqrt{15} < 13$.

Поскольку логарифмическая функция с основанием $9$ является возрастающей, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $\log_9 \sqrt{15} < \log_9 13$.

Ответ: $\log_9 \sqrt{15} < \log_9 13$.

г) Для сравнения чисел $\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7}$ и $\log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$ рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_{\frac{1}{12}} x$. Основание логарифма $a = \frac{1}{12}$. Так как $0 < a < 1$, эта функция является убывающей.

Сравним аргументы логарифмов: $\frac{1}{7}$ и $\frac{2}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю $21$.

$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{3}{21}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21}$

Так как $3 < 14$, то $\frac{3}{21} < \frac{14}{21}$, а значит $\frac{1}{7} < \frac{2}{3}$.

Поскольку логарифмическая функция с основанием $\frac{1}{12}$ является убывающей, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7} > \log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7} > \log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$.