Номер 41.20, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.20, страница 170.

41.20 Решите уравнение:

a) $log_x \frac{1}{27} = -3;$

б) $log_x 3 = \frac{1}{2};$

в) $log_x \frac{1}{16} = -4;$

г) $log_x 4 = -\frac{1}{2}.$

а) $log_x \frac{1}{27} = -3$

Для решения логарифмического уравнения воспользуемся его определением: $log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$. При этом на основание логарифма $x$ накладываются ограничения: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Применяя определение к нашему уравнению, получаем:

$x^{-3} = \frac{1}{27}$

Представим обе части уравнения в виде степени с одинаковым показателем. Так как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $27 = 3^3$, то:

$\frac{1}{x^3} = \frac{1}{3^3}$

Из этого равенства следует, что $x^3 = 3^3$, а значит, $x = 3$.

Найденное значение $x=3$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Ответ: $3$

б) $log_x 3 = \frac{1}{2}$

Согласно определению логарифма и с учетом ограничений на основание ($x > 0, x \neq 1$), имеем:

$x^{\frac{1}{2}} = 3$

Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню:

$\sqrt{x} = 3$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 3^2$

$x = 9$

Найденное значение $x=9$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Ответ: $9$

в) $log_x \frac{1}{16} = -4$

Используем определение логарифма ($x > 0, x \neq 1$):

$x^{-4} = \frac{1}{16}$

Преобразуем уравнение, зная, что $16 = 2^4$:

$\frac{1}{x^4} = \frac{1}{2^4}$

Отсюда следует, что $x^4 = 2^4$.

Данное уравнение в действительных числах имеет два решения: $x=2$ и $x=-2$. Однако, основание логарифма должно быть положительным ($x > 0$), поэтому корень $x=-2$ не подходит.

Оставшийся корень $x=2$ удовлетворяет всем условиям ($x > 0, x \neq 1$).

Ответ: $2$

г) $log_x 4 = -\frac{1}{2}$

По определению логарифма ($x > 0, x \neq 1$):

$x^{-\frac{1}{2}} = 4$

Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 4$

Так как $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$, имеем:

$\frac{1}{\sqrt{x}} = 4$

Отсюда находим $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$

Возводим обе части в квадрат, чтобы найти $x$:

$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{4})^2$

$x = \frac{1}{16}$

Найденное значение $x=\frac{1}{16}$ удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Ответ: $\frac{1}{16}$