Номер 41.17, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.

Тип: Задачник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 2

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.17, страница 170.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№41.17 (с. 170)
Условие. №41.17 (с. 170)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 170, номер 41.17, Условие

41.17 a) $4^x - 5 \cdot 2^x = -6;$

б) $16^x = 6 \cdot 4^x - 5;$

В) $9^x - 7 \cdot 3^x = -12;$

Г) $-9 \cdot 7^x + 14 = -49^x.$

Решение 1. №41.17 (с. 170)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 170, номер 41.17, Решение 1
Решение 2. №41.17 (с. 170)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 170, номер 41.17, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 170, номер 41.17, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №41.17 (с. 170)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 170, номер 41.17, Решение 3
Решение 5. №41.17 (с. 170)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 170, номер 41.17, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 170, номер 41.17, Решение 5 (продолжение 2) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 170, номер 41.17, Решение 5 (продолжение 3)
Решение 6. №41.17 (с. 170)

а) $4^x - 5 \cdot 2^x = -6$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение в стандартном виде:

$4^x - 5 \cdot 2^x + 6 = 0$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Это позволяет свести уравнение к квадратному с помощью замены переменной.

Пусть $t = 2^x$. Поскольку основание степени $2 > 0$, то $2^x > 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, на новую переменную $t$ накладывается ограничение $t > 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Оба корня ($t_1=2$ и $t_2=3$) удовлетворяют условию $t>0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня:

1) $2^x = t_1 \Rightarrow 2^x = 2$. Так как $2 = 2^1$, получаем $x_1 = 1$.

2) $2^x = t_2 \Rightarrow 2^x = 3$. Чтобы найти $x$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2: $x_2 = \log_2 3$.

Ответ: $1; \log_2 3$.

б) $16^x = 6 \cdot 4^x - 5$

Перенесем все члены в левую часть:

$16^x - 6 \cdot 4^x + 5 = 0$

Заметим, что $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Так как $4^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

После замены уравнение принимает вид:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Оба корня положительны, значит, оба подходят.

Выполним обратную замену:

1) $4^x = t_1 \Rightarrow 4^x = 1$. Так как $1 = 4^0$, получаем $x_1 = 0$.

2) $4^x = t_2 \Rightarrow 4^x = 5$. Логарифмируя обе части по основанию 4, получаем $x_2 = \log_4 5$.

Ответ: $0; \log_4 5$.

в) $9^x - 7 \cdot 3^x = -12$

Перенесем все члены в левую часть:

$9^x - 7 \cdot 3^x + 12 = 0$

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Уравнение сводится к квадратному:

$t^2 - 7t + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 12. Корнями являются числа 3 и 4.

$t_1 = 3$, $t_2 = 4$.

Оба корня положительны и удовлетворяют условию $t>0$.

Выполним обратную замену:

1) $3^x = t_1 \Rightarrow 3^x = 3$. Так как $3 = 3^1$, получаем $x_1 = 1$.

2) $3^x = t_2 \Rightarrow 3^x = 4$. Логарифмируя по основанию 3, получаем $x_2 = \log_3 4$.

Ответ: $1; \log_3 4$.

г) $-9 \cdot 7^x + 14 = -49^x$

Перенесем все члены в левую часть и упорядочим их по убыванию степеней:

$49^x - 9 \cdot 7^x + 14 = 0$

Заметим, что $49^x = (7^2)^x = (7^x)^2$. Введем замену. Пусть $t = 7^x$. Условие на переменную $t$ — $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 9t + 14 = 0$

Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 9, произведение равно 14. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 7$.

Оба корня положительны, значит, оба являются допустимыми.

Выполним обратную замену:

1) $7^x = t_1 \Rightarrow 7^x = 2$. Логарифмируя по основанию 7, получаем $x_1 = \log_7 2$.

2) $7^x = t_2 \Rightarrow 7^x = 7$. Так как $7 = 7^1$, получаем $x_2 = 1$.

Ответ: $\log_7 2; 1$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 41.17 расположенного на странице 170 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №41.17 (с. 170), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться