Номер 41.17, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. §41. Понятие логарифма - номер 41.17, страница 170.

Условие.

41.17 a) $4^x - 5 \cdot 2^x = -6;$

б) $16^x = 6 \cdot 4^x - 5;$

В) $9^x - 7 \cdot 3^x = -12;$

Г) $-9 \cdot 7^x + 14 = -49^x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $4^x - 5 \cdot 2^x = -6$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение в стандартном виде:

$4^x - 5 \cdot 2^x + 6 = 0$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Это позволяет свести уравнение к квадратному с помощью замены переменной.

Пусть $t = 2^x$. Поскольку основание степени $2 > 0$, то $2^x > 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, на новую переменную $t$ накладывается ограничение $t > 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Оба корня ($t_1=2$ и $t_2=3$) удовлетворяют условию $t>0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня:

1) $2^x = t_1 \Rightarrow 2^x = 2$. Так как $2 = 2^1$, получаем $x_1 = 1$.

2) $2^x = t_2 \Rightarrow 2^x = 3$. Чтобы найти $x$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2: $x_2 = \log_2 3$.

Ответ: $1; \log_2 3$.

б) $16^x = 6 \cdot 4^x - 5$

Перенесем все члены в левую часть:

$16^x - 6 \cdot 4^x + 5 = 0$

Заметим, что $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Так как $4^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

После замены уравнение принимает вид:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Оба корня положительны, значит, оба подходят.

Выполним обратную замену:

1) $4^x = t_1 \Rightarrow 4^x = 1$. Так как $1 = 4^0$, получаем $x_1 = 0$.

2) $4^x = t_2 \Rightarrow 4^x = 5$. Логарифмируя обе части по основанию 4, получаем $x_2 = \log_4 5$.

Ответ: $0; \log_4 5$.

в) $9^x - 7 \cdot 3^x = -12$

Перенесем все члены в левую часть:

$9^x - 7 \cdot 3^x + 12 = 0$

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Уравнение сводится к квадратному:

$t^2 - 7t + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 12. Корнями являются числа 3 и 4.

$t_1 = 3$, $t_2 = 4$.

Оба корня положительны и удовлетворяют условию $t>0$.

Выполним обратную замену:

1) $3^x = t_1 \Rightarrow 3^x = 3$. Так как $3 = 3^1$, получаем $x_1 = 1$.

2) $3^x = t_2 \Rightarrow 3^x = 4$. Логарифмируя по основанию 3, получаем $x_2 = \log_3 4$.

Ответ: $1; \log_3 4$.

г) $-9 \cdot 7^x + 14 = -49^x$

Перенесем все члены в левую часть и упорядочим их по убыванию степеней:

$49^x - 9 \cdot 7^x + 14 = 0$

Заметим, что $49^x = (7^2)^x = (7^x)^2$. Введем замену. Пусть $t = 7^x$. Условие на переменную $t$ — $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 9t + 14 = 0$

Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 9, произведение равно 14. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 7$.

Оба корня положительны, значит, оба являются допустимыми.

Выполним обратную замену:

1) $7^x = t_1 \Rightarrow 7^x = 2$. Логарифмируя по основанию 7, получаем $x_1 = \log_7 2$.

2) $7^x = t_2 \Rightarrow 7^x = 7$. Так как $7 = 7^1$, получаем $x_2 = 1$.

Ответ: $\log_7 2; 1$.