Номер 41.17, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.17, страница 170.
№41.17 (с. 170)
Условие. №41.17 (с. 170)
скриншот условия

41.17 a) $4^x - 5 \cdot 2^x = -6;$
б) $16^x = 6 \cdot 4^x - 5;$
В) $9^x - 7 \cdot 3^x = -12;$
Г) $-9 \cdot 7^x + 14 = -49^x.$
Решение 1. №41.17 (с. 170)

Решение 2. №41.17 (с. 170)


Решение 3. №41.17 (с. 170)

Решение 5. №41.17 (с. 170)



Решение 6. №41.17 (с. 170)
а) $4^x - 5 \cdot 2^x = -6$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение в стандартном виде:
$4^x - 5 \cdot 2^x + 6 = 0$
Данное уравнение является показательным. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Это позволяет свести уравнение к квадратному с помощью замены переменной.
Пусть $t = 2^x$. Поскольку основание степени $2 > 0$, то $2^x > 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, на новую переменную $t$ накладывается ограничение $t > 0$.
Подставим $t$ в уравнение:
$t^2 - 5t + 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$
Оба корня ($t_1=2$ и $t_2=3$) удовлетворяют условию $t>0$.
Теперь выполним обратную замену для каждого корня:
1) $2^x = t_1 \Rightarrow 2^x = 2$. Так как $2 = 2^1$, получаем $x_1 = 1$.
2) $2^x = t_2 \Rightarrow 2^x = 3$. Чтобы найти $x$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2: $x_2 = \log_2 3$.
Ответ: $1; \log_2 3$.
б) $16^x = 6 \cdot 4^x - 5$
Перенесем все члены в левую часть:
$16^x - 6 \cdot 4^x + 5 = 0$
Заметим, что $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Так как $4^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
После замены уравнение принимает вид:
$t^2 - 6t + 5 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.
Оба корня положительны, значит, оба подходят.
Выполним обратную замену:
1) $4^x = t_1 \Rightarrow 4^x = 1$. Так как $1 = 4^0$, получаем $x_1 = 0$.
2) $4^x = t_2 \Rightarrow 4^x = 5$. Логарифмируя обе части по основанию 4, получаем $x_2 = \log_4 5$.
Ответ: $0; \log_4 5$.
в) $9^x - 7 \cdot 3^x = -12$
Перенесем все члены в левую часть:
$9^x - 7 \cdot 3^x + 12 = 0$
Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
Уравнение сводится к квадратному:
$t^2 - 7t + 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 12. Корнями являются числа 3 и 4.
$t_1 = 3$, $t_2 = 4$.
Оба корня положительны и удовлетворяют условию $t>0$.
Выполним обратную замену:
1) $3^x = t_1 \Rightarrow 3^x = 3$. Так как $3 = 3^1$, получаем $x_1 = 1$.
2) $3^x = t_2 \Rightarrow 3^x = 4$. Логарифмируя по основанию 3, получаем $x_2 = \log_3 4$.
Ответ: $1; \log_3 4$.
г) $-9 \cdot 7^x + 14 = -49^x$
Перенесем все члены в левую часть и упорядочим их по убыванию степеней:
$49^x - 9 \cdot 7^x + 14 = 0$
Заметим, что $49^x = (7^2)^x = (7^x)^2$. Введем замену. Пусть $t = 7^x$. Условие на переменную $t$ — $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 9t + 14 = 0$
Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 9, произведение равно 14. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 7$.
Оба корня положительны, значит, оба являются допустимыми.
Выполним обратную замену:
1) $7^x = t_1 \Rightarrow 7^x = 2$. Логарифмируя по основанию 7, получаем $x_1 = \log_7 2$.
2) $7^x = t_2 \Rightarrow 7^x = 7$. Так как $7 = 7^1$, получаем $x_2 = 1$.
Ответ: $\log_7 2; 1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 41.17 расположенного на странице 170 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №41.17 (с. 170), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.