Номер 42.2, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.2, страница 171.

42.2 Постройте (схематично) график функции:

а) $y = \log_{\sqrt{3}} x;$

б) $y = \log_{\frac{1}{\pi}} x;$

в) $y = \lg x;$

г) $y = \log_{0.2} x.$

Для построения графиков логарифмических функций вида $y = \log_a x$ необходимо проанализировать основание логарифма $a$.

• Если $a > 1$, функция возрастает.
• Если $0 < a < 1$, функция убывает.

Все графики логарифмических функций проходят через точку $(1, 0)$, имеют область определения $x > 0$ и вертикальную асимптоту $x = 0$ (ось $Oy$).

а)

Рассмотрим функцию $y = \log_{\sqrt{3}} x$.

Основание логарифма $a = \sqrt{3}$. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $a > 1$. Следовательно, функция является возрастающей.

Найдем ключевые точки для построения графика:

• При $x=1$, $y = \log_{\sqrt{3}} 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• При $x=\sqrt{3}$, $y = \log_{\sqrt{3}} \sqrt{3} = 1$. Точка $(\sqrt{3}, 1)$.
• При $x=3$, $y = \log_{\sqrt{3}} 3 = \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^2 = 2$. Точка $(3, 2)$.

Схематично график представляет собой кривую, которая проходит через точку $(1, 0)$, монотонно возрастает и стремится к $-\infty$ при $x$, стремящемся к $0$ справа. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой.

Ответ: График функции $y = \log_{\sqrt{3}} x$ — это возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(\sqrt{3}, 1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.

б)

Рассмотрим функцию $y = \log_{\frac{1}{\pi}} x$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{\pi}$. Поскольку $\pi \approx 3.14159$, то $a = \frac{1}{\pi} \approx 0.318$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.

Найдем ключевые точки для построения графика:

• При $x=1$, $y = \log_{\frac{1}{\pi}} 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• При $x=\frac{1}{\pi}$, $y = \log_{\frac{1}{\pi}} \frac{1}{\pi} = 1$. Точка $(\frac{1}{\pi}, 1)$.
• При $x=\pi$, $y = \log_{\frac{1}{\pi}} \pi = \log_{\pi^{-1}} \pi = -1$. Точка $(\pi, -1)$.

Схематично график представляет собой кривую, которая проходит через точку $(1, 0)$, монотонно убывает и стремится к $+\infty$ при $x$, стремящемся к $0$ справа. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{\pi}} x$ — это убывающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(\frac{1}{\pi}, 1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.

в)

Рассмотрим функцию $y = \lg x$.

Это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $y = \log_{10} x$. Основание $a = 10$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.

Найдем ключевые точки для построения графика:

• При $x=1$, $y = \lg 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• При $x=10$, $y = \lg 10 = 1$. Точка $(10, 1)$.
• При $x=0.1$, $y = \lg 0.1 = \lg 10^{-1} = -1$. Точка $(0.1, -1)$.

Схематично график представляет собой возрастающую кривую, которая проходит через точку $(1, 0)$ и точку $(10, 1)$. График растет медленнее, чем график функции из пункта а), так как основание $10 > \sqrt{3}$.

Ответ: График функции $y = \lg x$ — это возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(10, 1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.

г)

Рассмотрим функцию $y = \log_{0.2} x$.

Основание логарифма $a = 0.2 = \frac{1}{5}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.

Найдем ключевые точки для построения графика:

• При $x=1$, $y = \log_{0.2} 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• При $x=0.2$, $y = \log_{0.2} 0.2 = 1$. Точка $(0.2, 1)$.
• При $x=5$, $y = \log_{0.2} 5 = \log_{1/5} 5 = -1$. Точка $(5, -1)$.

Схематично график представляет собой убывающую кривую, которая проходит через точку $(1, 0)$, а также через точки $(0.2, 1)$ и $(5, -1)$. График стремится к $+\infty$ при $x \to 0^+$.

Ответ: График функции $y = \log_{0.2} x$ — это убывающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$, $(0.2, 1)$ и $(5, -1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.