Номер 41.21, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.21, страница 170.

41.21 Решите уравнение с параметром a:

a) $4^x - 2^x + a = a \cdot 2^x;$

б) $9^x - (2a + 1) \cdot 3^x + a^2 + a - 2 = 0.$

a) $4^x - 2^x + a = a \cdot 2^x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их:

$4^x - 2^x - a \cdot 2^x + a = 0$

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Вынесем общий множитель $-2^x$ за скобки:

$(2^x)^2 - (1+a) \cdot 2^x + a = 0$

Данное уравнение является показательным, и оно сводится к квадратному уравнению с помощью замены переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, на новую переменную $t$ накладывается ограничение: $t > 0$.

С учетом замены уравнение принимает вид:

$t^2 - (1+a)t + a = 0$

Это приведенное квадратное уравнение относительно $t$. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна $t_1 + t_2 = 1+a$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = a$. Очевидно, что корнями являются $t_1 = 1$ и $t_2 = a$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену $t = 2^x$, учитывая условие $t > 0$.

1. Первый корень $t_1 = 1$. Этот корень всегда удовлетворяет условию $t>0$.

$2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

Этот корень $x=0$ существует при любом значении параметра $a$.

2. Второй корень $t_2 = a$.

Для существования решения $x$ из уравнения $2^x = a$ необходимо, чтобы правая часть была положительной, то есть $a > 0$.

Если $a > 0$, то $2^x = a \implies x = \log_2 a$.

Проанализируем полученные решения в зависимости от значения параметра $a$.

• Если $a \le 0$, то корень $t_2=a$ не удовлетворяет условию $t>0$, и уравнение $2^x = a$ не имеет решений. В этом случае исходное уравнение имеет только одно решение, соответствующее корню $t_1=1$: $x=0$.
• Если $a > 0$, то оба корня для $t$ ($t_1=1$ и $t_2=a$) положительны. Уравнение может иметь два решения: $x=0$ и $x=\log_2 a$. Эти решения совпадут, если $\log_2 a = 0$, что равносильно $a=1$. При $a=1$ корни для $t$ совпадают ($t_1=t_2=1$), и уравнение имеет единственное решение $x=0$.

Соберем все случаи вместе:

1. Если $a \le 0$ или $a=1$, уравнение имеет одно решение $x=0$.

2. Если $a > 0$ и $a \ne 1$, уравнение имеет два различных решения: $x=0$ и $x=\log_2 a$.

Ответ:

если $a \le 0$ или $a=1$, то $x=0$;

если $a > 0$ и $a \ne 1$, то $x_1=0$, $x_2=\log_2 a$.

б) $9^x - (2a + 1) \cdot 3^x + a^2 + a - 2 = 0$

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Следовательно, данное уравнение является квадратным относительно $3^x$.

$(3^x)^2 - (2a+1) \cdot 3^x + (a^2 + a - 2) = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ всегда положительна ($y>0$), на новую переменную накладывается ограничение $y > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - (2a+1)y + (a^2 + a - 2) = 0$

Найдем его корни. Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-(2a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2+a-2) = (4a^2 + 4a + 1) - (4a^2+4a-8) = 4a^2+4a+1-4a^2-4a+8 = 9$.

Так как дискриминант положителен, уравнение всегда имеет два различных корня для $y$:

$y = \frac{(2a+1) \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{2a+1 \pm 3}{2}$

Получаем два корня:

$y_1 = \frac{2a+1+3}{2} = \frac{2a+4}{2} = a+2$

$y_2 = \frac{2a+1-3}{2} = \frac{2a-2}{2} = a-1$

Теперь вернемся к замене $y = 3^x$ и учтем условие $y>0$.

1. Уравнение $3^x = y_1 = a+2$ имеет решение тогда и только тогда, когда $a+2 > 0$, то есть $a > -2$. В этом случае решение: $x = \log_3(a+2)$.

2. Уравнение $3^x = y_2 = a-1$ имеет решение тогда и только тогда, когда $a-1 > 0$, то есть $a > 1$. В этом случае решение: $x = \log_3(a-1)$.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от значения параметра $a$, анализируя условия $a > -2$ и $a > 1$.

• Если $a \le -2$. В этом случае $a+2 \le 0$ и $a-1 < 0$. Оба корня для $y$ ($y_1$ и $y_2$) неположительны, следовательно, исходное уравнение не имеет действительных решений.
• Если $-2 < a \le 1$. В этом случае $a+2 > 0$, а $a-1 \le 0$. Только один корень для $y$ положителен: $y_1 = a+2$. Следовательно, исходное уравнение имеет одно решение: $x = \log_3(a+2)$.
• Если $a > 1$. В этом случае $a+2 > 0$ и $a-1 > 0$. Оба корня для $y$ положительны. Исходное уравнение имеет два различных решения (так как $a+2 \ne a-1$ при любом $a$): $x_1 = \log_3(a+2)$ и $x_2 = \log_3(a-1)$.

Ответ:

если $a \le -2$, то решений нет;

если $-2 < a \le 1$, то $x=\log_3(a+2)$;

если $a > 1$, то $x_1=\log_3(a-1)$, $x_2=\log_3(a+2)$.