Номер 41.15, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.15, страница 170.

41.15 а) $2^x = 9$;

б) $12^x = 7$;

В) $(\frac{1}{3})^x = 4$;

Г) $(0,2)^x = 5.

а)

Дано показательное уравнение $2^x = 9$.

Для решения этого уравнения воспользуемся определением логарифма. Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ (обозначается $\log_a b$) называется показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. То есть, равенство $a^x = b$ равносильно равенству $x = \log_a b$.

Применительно к нашему уравнению, основание $a=2$, а число $b=9$. Следовательно, показатель степени $x$ равен:

$x = \log_2 9$.

Можно также представить $9$ как $3^2$ и использовать свойство логарифма $\log_a(m^k) = k \log_a m$:

$x = \log_2(3^2) = 2\log_2 3$.

Оба вида ответа являются верными.

Ответ: $x = \log_2 9$.

б)

Дано показательное уравнение $12^x = 7$.

Используя определение логарифма, как и в предыдущем примере, где $a=12$ и $b=7$, мы можем сразу записать решение для $x$:

$x = \log_{12} 7$.

Так как числа 12 и 7 не имеют общих степенных связей, которые позволили бы упростить выражение, это является окончательным ответом.

Ответ: $x = \log_{12} 7$.

в)

Дано показательное уравнение $(\frac{1}{3})^x = 4$.

По определению логарифма, мы получаем:

$x = \log_{\frac{1}{3}} 4$.

Это выражение можно упростить. Представим основание логарифма $\frac{1}{3}$ в виде степени: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

$x = \log_{3^{-1}} 4$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$. В нашем случае $a=3$, $b=4$, $k=-1$.

$x = \frac{1}{-1} \log_3 4 = -\log_3 4$.

Другой способ — преобразовать исходное уравнение:

$(\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$.

Тогда уравнение имеет вид $3^{-x} = 4$. Теперь, по определению логарифма:

$-x = \log_3 4$.

$x = -\log_3 4$.

Ответ: $x = -\log_3 4$.

г)

Дано показательное уравнение $(0,2)^x = 5$.

Сначала преобразуем десятичную дробь $0,2$ в обыкновенную:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Теперь уравнение выглядит так:

$(\frac{1}{5})^x = 5$.

Представим дробь $\frac{1}{5}$ как степень числа 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

$(5^{-1})^x = 5$.

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$5^{-x} = 5$.

Так как любое число без указания степени считается в первой степени ($5 = 5^1$), мы имеем:

$5^{-x} = 5^1$.

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$-x = 1$.

Отсюда находим $x$:

$x = -1$.

Ответ: $x = -1$.