Номер 41.8, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.8, страница 169.

41.8 a) $2^{3+\log_2 9}$;

б) $7^{1+\log_7 4}$;

в) $(\frac{1}{6})^{2+\log_{\frac{1}{6}} 20}$;

г) $(\sqrt{7})^{4+\log_{\sqrt{7}} 0.5}$.

а) Для решения данного выражения воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$.
$2^{3 + \log_2 9} = 2^3 \cdot 2^{\log_2 9}$
Сначала вычислим $2^3 = 8$.
Затем, согласно основному логарифмическому тождеству, $2^{\log_2 9} = 9$.
Теперь перемножим полученные значения:
$8 \cdot 9 = 72$.
Ответ: 72

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$7^{1 + \log_7 4} = 7^1 \cdot 7^{\log_7 4}$
Мы знаем, что $7^1 = 7$.
По основному логарифмическому тождеству, $7^{\log_7 4} = 4$.
Перемножаем результаты:
$7 \cdot 4 = 28$.
Ответ: 28

в) Применим те же свойства, что и в предыдущих примерах. Основание степени теперь дробное, но правила остаются теми же.
$(\frac{1}{6})^{2 + \log_{\frac{1}{6}} 20} = (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 20}$
Вычисляем первый множитель: $(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$.
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, находим второй множитель: $(\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 20} = 20$.
Перемножим полученные значения:
$\frac{1}{36} \cdot 20 = \frac{20}{36}$
Сократим дробь: $\frac{20}{36} = \frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{5}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{9}$

г) Снова используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$(\sqrt{7})^{4 + \log_{\sqrt{7}} 0,5} = (\sqrt{7})^4 \cdot (\sqrt{7})^{\log_{\sqrt{7}} 0,5}$
Вычислим первый множитель: $(\sqrt{7})^4 = ((\sqrt{7})^2)^2 = 7^2 = 49$.
По основному логарифмическому тождеству, второй множитель равен: $(\sqrt{7})^{\log_{\sqrt{7}} 0,5} = 0,5$.
Перемножим результаты:
$49 \cdot 0,5 = 49 \cdot \frac{1}{2} = \frac{49}{2} = 24,5$.
Ответ: 24,5