Номер 41.6, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.6, страница 169.

41.6 a) $\log_{\sqrt{2}} 1;$

б) $\log_{0.5} \frac{1}{4\sqrt{2}};$

В) $\log_{\sqrt{3}} 81\sqrt{3};$

г) $\lg \frac{1}{\sqrt[3]{10}}.$

а) Чтобы найти значение выражения $\log_{\sqrt{2}} 1$, воспользуемся определением логарифма: $\log_b a = c$ равносильно $b^c = a$. В данном случае основание $b = \sqrt{2}$, а число под логарифмом $a = 1$. Нам нужно найти такое число $c$, чтобы выполнялось равенство $(\sqrt{2})^c = 1$. Любое отличное от нуля число в степени 0 равно 1, поэтому $c = 0$.
Ответ: 0

б) Обозначим искомое значение как $x$: $x = \log_{0,5} \frac{1}{4\sqrt{2}}$. Согласно определению логарифма, это эквивалентно уравнению $(0,5)^x = \frac{1}{4\sqrt{2}}$. Для решения приведем обе части уравнения к степеням с одинаковым основанием, например, 2.
Представим основание логарифма: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Представим число под знаком логарифма: $4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}}$.
Следовательно, $\frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} = 2^{-\frac{5}{2}}$.
Подставим полученные выражения в наше уравнение: $(2^{-1})^x = 2^{-\frac{5}{2}}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $2^{-x} = 2^{-\frac{5}{2}}$.
Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели: $-x = -\frac{5}{2}$, откуда $x = \frac{5}{2}$.
Ответ: $\frac{5}{2}$

в) Обозначим искомое значение как $x$: $x = \log_{\sqrt{3}} (81\sqrt{3})$. По определению логарифма, это означает, что $(\sqrt{3})^x = 81\sqrt{3}$. Приведем обе части уравнения к основанию 3.
Основание логарифма: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Число под знаком логарифма: $81\sqrt{3} = 3^4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{4+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{9}{2}}$.
Наше уравнение принимает вид: $(3^{\frac{1}{2}})^x = 3^{\frac{9}{2}}$.
Упростим левую часть: $3^{\frac{x}{2}} = 3^{\frac{9}{2}}$.
Приравнивая показатели степеней, получаем: $\frac{x}{2} = \frac{9}{2}$.
Отсюда следует, что $x=9$.
Ответ: 9

г) Запись $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg a = \log_{10} a$. Нам необходимо вычислить $\lg \frac{1}{\sqrt[3]{10}}$. Обозначим это значение как $x$: $x = \log_{10} \frac{1}{\sqrt[3]{10}}$.
По определению логарифма, $10^x = \frac{1}{\sqrt[3]{10}}$.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 10.
Корень третьей степени из 10 можно записать как $10^{\frac{1}{3}}$.
Тогда $\frac{1}{\sqrt[3]{10}} = \frac{1}{10^{\frac{1}{3}}} = 10^{-\frac{1}{3}}$.
Получаем уравнение: $10^x = 10^{-\frac{1}{3}}$.
Из равенства степеней с одинаковым основанием следует равенство их показателей: $x = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$