Номер 41.4, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.4, страница 169.

41.4 a) $\log_3 \frac{1}{27}$;

В) $\lg 0,0001$;

б) $\log_{0,1} 0,0001$;

Г) $\log_{\frac{1}{3}} 81.$

а) Чтобы вычислить $ \log_3 \frac{1}{27} $, нужно найти степень, в которую необходимо возвести основание 3, чтобы получить число $ \frac{1}{27} $. По определению логарифма, если $ \log_3 \frac{1}{27} = x $, то $ 3^x = \frac{1}{27} $.
Представим число $ \frac{1}{27} $ в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что $ 27 = 3^3 $. Используя свойство отрицательной степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем: $ \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3} $.
Таким образом, наше уравнение принимает вид $ 3^x = 3^{-3} $. Отсюда следует, что $ x = -3 $.
Другой способ — это использовать свойство логарифма $ \log_a(a^x) = x $:
$ \log_3 \frac{1}{27} = \log_3 (3^{-3}) = -3 $.

Ответ: -3

б) Чтобы вычислить $ \log_{0,1} 0,0001 $, необходимо найти степень, в которую нужно возвести основание 0,1, чтобы получить число 0,0001. Пусть $ \log_{0,1} 0,0001 = x $, тогда $ (0,1)^x = 0,0001 $.
Представим число 0,0001 как степень числа 0,1:
$ 0,1^1 = 0,1 $
$ 0,1^2 = 0,01 $
$ 0,1^3 = 0,001 $
$ 0,1^4 = 0,0001 $
Таким образом, уравнение принимает вид $ (0,1)^x = (0,1)^4 $, откуда $ x = 4 $.
Используя свойство логарифма $ \log_a(a^x) = x $, получаем:
$ \log_{0,1} 0,0001 = \log_{0,1} ((0,1)^4) = 4 $.

Ответ: 4

в) Выражение $ \lg 0,0001 $ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. $ \lg 0,0001 = \log_{10} 0,0001 $.
Нам нужно найти степень, в которую следует возвести 10, чтобы получить 0,0001. Если $ \log_{10} 0,0001 = x $, то $ 10^x = 0,0001 $.
Представим десятичную дробь 0,0001 в виде степени числа 10:
$ 0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} $.
Используя свойство отрицательной степени $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $, имеем $ \frac{1}{10^4} = 10^{-4} $.
Значит, $ 10^x = 10^{-4} $, откуда $ x = -4 $.
Таким образом, $ \lg 0,0001 = -4 $.

Ответ: -4

г) Для вычисления $ \log_{\frac{1}{3}} 81 $ нужно найти степень $ x $, в которую нужно возвести основание $ \frac{1}{3} $, чтобы получить число 81. То есть, $ (\frac{1}{3})^x = 81 $.
Для решения этого уравнения представим обе его части в виде степеней с одним и тем же основанием, например, 3.
Основание логарифма: $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $.
Число под логарифмом: $ 81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4 $.
Подставим эти выражения в уравнение: $ (3^{-1})^x = 3^4 $.
По свойству степени $ (a^m)^n = a^{mn} $ левая часть примет вид $ 3^{-x} $.
Получаем уравнение $ 3^{-x} = 3^4 $.
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $ -x = 4 $, откуда $ x = -4 $.

Ответ: -4