Номер 40.64, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.64, страница 168.

Решите неравенство:

40.64 a) $(x - 6)(5^x - 25) < 0$;

б) $(2x + 1)(3^{3 - x} - 9) > 0$.

а) Решим неравенство $(x - 6)(5^{x-6} - 25) < 0$.

Данное неравенство представляет собой произведение двух множителей. Неравенство будет верным, если множители имеют разные знаки. Для решения применим обобщенный метод интервалов (метод рационализации).

Суть метода заключается в замене сложного множителя на более простой, имеющий те же знаки и те же нули. Знак выражения вида $a^{f(x)} - a^{g(x)}$ на его области определения совпадает со знаком выражения $(a-1)(f(x) - g(x))$.

Преобразуем второй множитель: $5^{x-6} - 25 = 5^{x-6} - 5^2$.

В данном случае $a=5$, $f(x) = x-6$ и $g(x) = 2$. Так как основание $a=5>1$, то множитель $(a-1)$ является положительным числом, и знак выражения $5^{x-6} - 5^2$ будет совпадать со знаком выражения $f(x) - g(x) = (x-6) - 2 = x-8$.

Таким образом, исходное неравенство $(x - 6)(5^{x-6} - 25) < 0$ равносильно следующему неравенству: $(x-6)(x-8) < 0$.

Это квадратичное неравенство. Решим его методом интервалов. Корни левой части: $x_1 = 6$, $x_2 = 8$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 6)$, $(6; 8)$ и $(8; +\infty)$.

Поскольку график функции $y=(x-6)(x-8)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, она принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(6, 8)$.

Ответ: $x \in (6, 8)$.

б) Решим неравенство $(2x + 1)(3^{3-x} - 9) > 0$.

Аналогично предыдущему пункту, воспользуемся методом рационализации для второго множителя.

Преобразуем второй множитель: $3^{3-x} - 9 = 3^{3-x} - 3^2$.

Здесь $a=3$, $f(x) = 3-x$ и $g(x) = 2$. Так как основание $a=3>1$, то знак выражения $3^{3-x} - 3^2$ совпадает со знаком выражения $f(x) - g(x) = (3-x) - 2 = 1-x$.

Таким образом, исходное неравенство $(2x + 1)(3^{3-x} - 9) > 0$ равносильно неравенству: $(2x+1)(1-x) > 0$.

Чтобы привести второй множитель к стандартному виду $(x-c)$, вынесем $-1$ за скобки: $(2x+1)(-1)(x-1) > 0$.

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $(2x+1)(x-1) < 0$.

Это квадратичное неравенство. Найдем корни левой части, приравняв каждый множитель к нулю: $2x+1=0 \implies x_1 = -1/2$ и $x-1=0 \implies x_2 = 1$.

График функции $y=(2x+1)(x-1)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между своими корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-1/2, 1)$.

Ответ: $x \in (-1/2, 1)$.