Номер 40.65, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.65, страница 168.

40.65 a) $(2^x - 8)(3^x - 81) < 0$;

б) $(3^{x+2} - \frac{1}{27})(5^{3-2x} - 0.2) \geq 0.$

a)

Решим неравенство $(2^x - 8)(3^x - 81) < 0$.

Данное неравенство решается методом интервалов. Сначала найдем значения $x$, при которых каждый из сомножителей равен нулю.

1) $2^x - 8 = 0$

$2^x = 8$

$2^x = 2^3$

$x_1 = 3$

2) $3^x - 81 = 0$

$3^x = 81$

$3^x = 3^4$

$x_2 = 4$

Найденные точки $x=3$ и $x=4$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 3)$, $(3; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знак выражения $(2^x - 8)(3^x - 81)$ в каждом из этих интервалов.

• Интервал $(-\infty; 3)$. Возьмем пробную точку $x=0$.

  $(2^0 - 8)(3^0 - 81) = (1 - 8)(1 - 81) = (-7)(-80) = 560 > 0$. Знак «+».

• Интервал $(3; 4)$. Возьмем пробную точку $x=3.5$.

  Поскольку функция $y=a^x$ при $a>1$ является возрастающей, то:

  при $x>3$, $2^x > 2^3=8$, значит $2^x-8 > 0$.

  при $x<4$, $3^x < 3^4=81$, значит $3^x-81 < 0$.

  Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно. Знак «−».

• Интервал $(4; +\infty)$. Возьмем пробную точку $x=5$.

  $(2^5 - 8)(3^5 - 81) = (32 - 8)(243 - 81) = (24)(162) > 0$. Знак «+».

Произведение меньше нуля там, где стоит знак «−». Это интервал $(3; 4)$.

Ответ: $x \in (3; 4)$.

б)

Решим неравенство $(3^{x+2} - \frac{1}{27})(5^{3-2x} - 0,2) \ge 0$.

Преобразуем числа в сомножителях к степеням с основаниями 3 и 5 соответственно.

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

Подставим эти значения в неравенство:

$(3^{x+2} - 3^{-3})(5^{3-2x} - 5^{-1}) \ge 0$.

Применим метод интервалов. Найдем корни каждого сомножителя.

1) $3^{x+2} - 3^{-3} = 0$

$3^{x+2} = 3^{-3}$

$x+2 = -3$

$x_1 = -5$

2) $5^{3-2x} - 5^{-1} = 0$

$5^{3-2x} = 5^{-1}$

$3-2x = -1$

$4 = 2x$

$x_2 = 2$

Точки $x=-5$ и $x=2$ делят числовую прямую на три интервала. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут включены в решение.

• Интервал $(-\infty; -5]$. Возьмем пробную точку $x=-6$.

  Первый множитель: $3^{-6+2} - 3^{-3} = 3^{-4} - 3^{-3} = \frac{1}{81} - \frac{1}{27} < 0$.

  Второй множитель: $5^{3-2(-6)} - 5^{-1} = 5^{15} - 5^{-1} > 0$.

  Произведение: $(-)(+) = -$.

• Интервал $[-5; 2]$. Возьмем пробную точку $x=0$.

  Первый множитель: $3^{0+2} - 3^{-3} = 3^2 - 3^{-3} = 9 - \frac{1}{27} > 0$.

  Второй множитель: $5^{3-2(0)} - 5^{-1} = 5^3 - 5^{-1} = 125 - \frac{1}{5} > 0$.

  Произведение: $(+)(+) = +$.

• Интервал $[2; +\infty)$. Возьмем пробную точку $x=3$.

  Первый множитель: $3^{3+2} - 3^{-3} = 3^5 - 3^{-3} > 0$.

  Второй множитель: $5^{3-2(3)} - 5^{-1} = 5^{-3} - 5^{-1} = \frac{1}{125} - \frac{1}{5} < 0$.

  Произведение: $(+)(-) = -$.

Неравенство выполняется, когда произведение неотрицательно (знак «+» или равно 0). Это происходит на отрезке $[-5; 2]$.

Ответ: $x \in [-5; 2]$.