Номер 41.5, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.5, страница 169.

41.5 a) $\log_{\sqrt{7}} 49;$

б) $\log_{\sqrt{2}} (2\sqrt{8});$

в) $\log_{\frac{1}{15}} (225\sqrt[3]{15});$

г) $\log_{\frac{3}{2}} \frac{64}{729}.$

а) Для вычисления $ \log_{\sqrt{7}} 49 $ представим основание и аргумент логарифма в виде степеней одного и того же числа, в данном случае числа 7.
Основание: $ \sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}} $.
Аргумент: $ 49 = 7^2 $.
Подставим эти значения в исходное выражение: $ \log_{\sqrt{7}} 49 = \log_{7^{\frac{1}{2}}} (7^2) $.
Воспользуемся свойством логарифма $ \log_{a^n} (a^m) = \frac{m}{n} $.
$ \log_{7^{\frac{1}{2}}} (7^2) = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4 $.
Ответ: 4.

б) Для вычисления $ \log_{\sqrt{2}} (2\sqrt{8}) $ представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа 2.
Основание: $ \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} $.
Преобразуем аргумент: $ 2\sqrt{8} = 2\sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} $.
Представим аргумент в виде степени числа 2: $ 4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}} $.
Подставим эти значения в исходное выражение: $ \log_{\sqrt{2}} (2\sqrt{8}) = \log_{2^{\frac{1}{2}}} (2^{\frac{5}{2}}) $.
Используя свойство $ \log_{a^n} (a^m) = \frac{m}{n} $, получаем:
$ \log_{2^{\frac{1}{2}}} (2^{\frac{5}{2}}) = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2} \cdot 2 = 5 $.
Ответ: 5.

в) Для вычисления $ \log_{\frac{1}{15}} (225\sqrt[3]{15}) $ представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа 15.
Основание: $ \frac{1}{15} = 15^{-1} $.
Преобразуем аргумент: $ 225\sqrt[3]{15} = 15^2 \cdot 15^{\frac{1}{3}} = 15^{2+\frac{1}{3}} = 15^{\frac{7}{3}} $.
Подставим эти значения в исходное выражение: $ \log_{\frac{1}{15}} (225\sqrt[3]{15}) = \log_{15^{-1}} (15^{\frac{7}{3}}) $.
Используя свойство $ \log_{a^n} (a^m) = \frac{m}{n} $, получаем:
$ \log_{15^{-1}} (15^{\frac{7}{3}}) = \frac{\frac{7}{3}}{-1} = -\frac{7}{3} $.
Ответ: $ -\frac{7}{3} $.

г) Для вычисления $ \log_{\frac{3}{2}} \frac{64}{729} $ представим аргумент логарифма в виде степени основания $ \frac{3}{2} $.
Аргумент: $ \frac{64}{729} $. Заметим, что $ 64 = 2^6 $ и $ 729 = 3^6 $.
Следовательно, $ \frac{64}{729} = \frac{2^6}{3^6} = \left(\frac{2}{3}\right)^6 $.
Чтобы представить $ \left(\frac{2}{3}\right)^6 $ как степень основания $ \frac{3}{2} $, воспользуемся свойством $ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{b}{a}\right)^{-n} $.
$ \left(\frac{2}{3}\right)^6 = \left(\frac{3}{2}\right)^{-6} $.
Теперь подставим это в логарифм: $ \log_{\frac{3}{2}} \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{-6}\right) $.
По определению логарифма $ \log_a (a^x) = x $, получаем:
$ \log_{\frac{3}{2}} \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{-6}\right) = -6 $.
Ответ: -6.