Номер 41.1, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.1, страница 168.

Докажите, что:

41.1 а) $log_2 2 = 1$; б) $log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$; в) $log_{0,1} 0,1 = 1$; г) $log_5 1 = 0$.

а) Для доказательства равенства $\log_2 2 = 1$ воспользуемся определением логарифма. Логарифм числа $b$ по основанию $a$ есть показатель степени $c$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Это записывается как $\log_a b = c$ и эквивалентно $a^c = b$.
В данном случае основание $a=2$ и логарифмируемое число $b=2$. Пусть $\log_2 2 = x$. Тогда, по определению логарифма, мы ищем такое $x$, что $2^x = 2$.
Известно, что любое число в первой степени равно самому себе, то есть $2^1 = 2$.
Следовательно, $x=1$, и $\log_2 2 = 1$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) Для доказательства равенства $\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$ воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$.
В данном случае основание $a=\frac{1}{3}$ и логарифмируемое число $b=1$. Пусть $\log_{\frac{1}{3}} 1 = x$. Тогда, по определению логарифма, мы ищем такое $x$, что $(\frac{1}{3})^x = 1$.
Известно, что любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Так как основание $\frac{1}{3} \neq 0$, то $(\frac{1}{3})^0 = 1$.
Следовательно, $x=0$, и $\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

в) Для доказательства равенства $\log_{0.1} 0.1 = 1$ воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$.
В данном случае основание $a=0.1$ и логарифмируемое число $b=0.1$. Пусть $\log_{0.1} 0.1 = x$. Тогда, по определению логарифма, мы ищем такое $x$, что $(0.1)^x = 0.1$.
Любое число в первой степени равно самому себе, поэтому $(0.1)^1 = 0.1$.
Следовательно, $x=1$, и $\log_{0.1} 0.1 = 1$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

г) Для доказательства равенства $\log_5 1 = 0$ воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$.
В данном случае основание $a=5$ и логарифмируемое число $b=1$. Пусть $\log_5 1 = x$. Тогда, по определению логарифма, мы ищем такое $x$, что $5^x = 1$.
Любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Так как основание $5 \neq 0$, то $5^0 = 1$.
Следовательно, $x=0$, и $\log_5 1 = 0$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.