Номер 40.67, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.67, страница 168.

40.67 a) $2x + 2 - x^2 \ge 3x^2 - 2x + x$;

б) $2x^2 - 4x + 5 \ge 4x - 2 - x^2$.

а) $2x + 2 - x^2 \ge 3x^2 - 2x + x$

Сначала упростим правую часть неравенства:

$2x + 2 - x^2 \ge 3x^2 - x$

Перенесем все члены неравенства в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство вида $ax^2+bx+c \le 0$:

$0 \ge 3x^2 - x - (2x + 2 - x^2)$

$0 \ge 3x^2 - x - 2x - 2 + x^2$

$0 \ge 4x^2 - 3x - 2$

Или, что то же самое:

$4x^2 - 3x - 2 \le 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $4x^2 - 3x - 2 = 0$, чтобы найти его корни. Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 9 + 32 = 41$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{3 - \sqrt{41}}{2 \cdot 4} = \frac{3 - \sqrt{41}}{8}$

$x_2 = \frac{3 + \sqrt{41}}{2 \cdot 4} = \frac{3 + \sqrt{41}}{8}$

Мы решаем неравенство $4x^2 - 3x - 2 \le 0$. Графиком функции $y = 4x^2 - 3x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как $a=4>0$). Значения функции будут меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства есть промежуток $[\frac{3 - \sqrt{41}}{8}, \frac{3 + \sqrt{41}}{8}]$.

Ответ: $x \in [\frac{3 - \sqrt{41}}{8}, \frac{3 + \sqrt{41}}{8}]$

б) $2x^2 - 4x + 5 \ge 4x - 2 - x^2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$2x^2 - 4x + 5 - (4x - 2 - x^2) \ge 0$

$2x^2 - 4x + 5 - 4x + 2 + x^2 \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 8x + 7 \ge 0$

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $3x^2 - 8x + 7 = 0$.

Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 64 - 84 = -20$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола $y = 3x^2 - 8x + 7$ не пересекает ось абсцисс. Поскольку старший коэффициент $a=3>0$, ветви параболы направлены вверх, и, следовательно, вся парабола находится выше оси абсцисс. Это значит, что выражение $3x^2 - 8x + 7$ всегда принимает положительные значения при любом значении $x$.

Таким образом, неравенство $3x^2 - 8x + 7 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$