Номер 40.66, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.66, страница 168.

40.66 a) $2^{2-x} > 2x - 3;$

б) $3^{3-2x} \le 2x + 1.$

а)

Рассмотрим неравенство $2^{2-x} > 2x - 3$.

Для решения этого неравенства введем две функции: $f(x) = 2^{2-x}$ (левая часть) и $g(x) = 2x - 3$ (правая часть).

Проанализируем свойства этих функций:

1. Функция $f(x) = 2^{2-x} = 2^2 \cdot 2^{-x} = 4 \cdot (\frac{1}{2})^x$. Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, функция $f(x)$ является монотонно убывающей на всей своей области определения, то есть на $(-\infty; +\infty)$.
2. Функция $g(x) = 2x - 3$ — это линейная функция с угловым коэффициентом $k=2$. Так как $k > 0$, функция $g(x)$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения, то есть на $(-\infty; +\infty)$.

Поскольку одна функция монотонно убывает, а другая монотонно возрастает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем точку их пересечения, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$2^{2-x} = 2x - 3$

Подберем корень этого уравнения. Проверим целые значения $x$.

При $x=2$:

Левая часть: $2^{2-2} = 2^0 = 1$.

Правая часть: $2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$.

Поскольку левая и правая части равны, $x=2$ является единственным корнем уравнения.

Теперь вернемся к неравенству $f(x) > g(x)$. Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, и их графики пересекаются в точке $x=2$, то для всех $x$ левее этой точки (т.е. при $x < 2$) значение функции $f(x)$ будет больше значения функции $g(x)$, а для всех $x$ правее (т.е. при $x > 2$) — наоборот.

Таким образом, неравенство $2^{2-x} > 2x - 3$ выполняется при $x < 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

б)

Рассмотрим неравенство $3^{3-2x} \le 2x + 1$.

Аналогично предыдущему пункту, введем функции $f(x) = 3^{3-2x}$ и $g(x) = 2x + 1$.

Проанализируем свойства этих функций:

1. Функция $f(x) = 3^{3-2x} = 3^3 \cdot 3^{-2x} = 27 \cdot (3^{-2})^x = 27 \cdot (\frac{1}{9})^x$. Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{9}$. Так как $0 < a < 1$, функция $f(x)$ является монотонно убывающей на $(-\infty; +\infty)$.
2. Функция $g(x) = 2x + 1$ — это линейная функция с угловым коэффициентом $k=2 > 0$. Следовательно, функция $g(x)$ является монотонно возрастающей на $(-\infty; +\infty)$.

Монотонно убывающая и монотонно возрастающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем эту точку из уравнения $f(x) = g(x)$:

$3^{3-2x} = 2x + 1$

Подберем корень, проверив целые значения $x$.

При $x=1$:

Левая часть: $3^{3 - 2 \cdot 1} = 3^{1} = 3$.

Правая часть: $2 \cdot 1 + 1 = 3$.

Значит, $x=1$ — единственный корень уравнения.

Нам нужно решить неравенство $f(x) \le g(x)$. Равенство достигается при $x=1$. Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, то при $x > 1$ будет выполняться строгое неравенство $f(x) < g(x)$.

Объединяя оба случая ($f(x) = g(x)$ и $f(x) < g(x)$), получаем, что неравенство $3^{3-2x} \le 2x + 1$ выполняется при $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.