Номер 40.59, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.59, страница 167.

40.59 Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

а) $5^{x^2 - 2x} \leq 125;$

б) $(\frac{1}{7})^{2x^2 - 3x} \geq \frac{1}{49};$

в) $2^{-x^2 + 8x} > 128;$

г) $(0,3)^{x^2 - x} > 0,09? $

а) $5^{x^2 - 2x} \le 125$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 5. Так как $125 = 5^3$, неравенство можно переписать в виде:

$5^{x^2 - 2x} \le 5^3$

Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это значит, что при сравнении показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 2x \le 3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2 - 2x - 3 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-1, 3]$.

Целочисленные решения, принадлежащие этому отрезку: -1, 0, 1, 2, 3.

Всего 5 целочисленных решений.

Ответ: 5

б) $(\frac{1}{7})^{2x^2 - 3x} \ge \frac{1}{49}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{1}{7}$. Так как $\frac{1}{49} = (\frac{1}{7})^2$, неравенство можно переписать в виде:

$(\frac{1}{7})^{2x^2 - 3x} \ge (\frac{1}{7})^2$

Поскольку основание степени $0 < \frac{1}{7} < 1$, показательная функция является убывающей. Это значит, что при сравнении показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$2x^2 - 3x \le 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - 3x - 2 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$. Корни: $x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$ и $x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -0.5$.

Парабола $y = 2x^2 - 3x - 2$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-0.5, 2]$.

Целочисленные решения, принадлежащие этому отрезку: 0, 1, 2.

Всего 3 целочисленных решения.

Ответ: 3

в) $2^{-x^2 + 8x} > 128$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 2. Так как $128 = 2^7$, неравенство можно переписать в виде:

$2^{-x^2 + 8x} > 2^7$

Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$-x^2 + 8x > 7$

Перенесем все члены в левую часть:

$-x^2 + 8x - 7 > 0$

Умножим обе части на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным, и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 8x + 7 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.

Парабола $y = x^2 - 8x + 7$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями, не включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является интервал $(1, 7)$.

Целочисленные решения, принадлежащие этому интервалу: 2, 3, 4, 5, 6.

Всего 5 целочисленных решений.

Ответ: 5

г) $(0,3)^{x^2 - x} > 0,09$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 0,3. Так как $0,09 = (0,3)^2$, неравенство можно переписать в виде:

$(0,3)^{x^2 - x} > (0,3)^2$

Поскольку основание степени $0 < 0,3 < 1$, показательная функция является убывающей. Знак неравенства при переходе к показателям меняется на противоположный:

$x^2 - x < 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 2 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - x - 2$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями, не включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является интервал $(-1, 2)$.

Целочисленные решения, принадлежащие этому интервалу: 0, 1.

Всего 2 целочисленных решения.

Ответ: 2