Номер 40.57, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.57, страница 167.

40.57 Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства:

а) $ \frac{1}{64} < 8^{-2x+3} < 512; $

б) $ \frac{1}{27} \le \left(\frac{1}{9}\right)^{7-x} \le 243? $

а)

Чтобы решить двойное неравенство $ \frac{1}{64} < 8^{-2x+3} < 512 $, необходимо привести все его части к одному основанию. В данном случае, удобнее всего использовать основание 8.

Представим числа $ \frac{1}{64} $ и $ 512 $ как степени числа 8:

$ \frac{1}{64} = \frac{1}{8^2} = 8^{-2} $

$ 512 = 8 \times 8 \times 8 = 8^3 $

Теперь перепишем исходное неравенство с новым основанием:

$ 8^{-2} < 8^{-2x+3} < 8^3 $

Поскольку основание степени $ 8 > 1 $, показательная функция является возрастающей. Это означает, что для показателей степени мы можем записать неравенство с теми же знаками:

$ -2 < -2x+3 < 3 $

Теперь решим это двойное линейное неравенство относительно $ x $. Сначала вычтем 3 из всех частей неравенства:

$ -2 - 3 < -2x+3 - 3 < 3 - 3 $

$ -5 < -2x < 0 $

Далее разделим все части на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$ \frac{-5}{-2} > \frac{-2x}{-2} > \frac{0}{-2} $

$ 2.5 > x > 0 $

Это неравенство можно записать в более привычном виде: $ 0 < x < 2.5 $.

Нам нужно найти количество натуральных чисел, которые удовлетворяют этому условию. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$). В промежуток от 0 до 2.5 (не включая концы) попадают натуральные числа 1 и 2.

Таким образом, всего 2 натуральных числа являются решениями данного неравенства.

Ответ: 2

б)

Рассмотрим двойное неравенство $ \frac{1}{27} \le (\frac{1}{9})^{7-x} \le 243 $.

Для решения приведем все части неравенства к одному основанию. Наиболее удобным основанием здесь является число 3.

Представим все числа в виде степени с основанием 3:

$ \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3} $

$ \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} $

$ 243 = 3^5 $

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$ 3^{-3} \le (3^{-2})^{7-x} \le 3^5 $

Применим свойство степени $ (a^m)^n = a^{mn} $ к средней части неравенства:

$ 3^{-3} \le 3^{-2(7-x)} \le 3^5 $

$ 3^{-3} \le 3^{-14+2x} \le 3^5 $

Поскольку основание степени $ 3 > 1 $, показательная функция является возрастающей, и мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знаки:

$ -3 \le -14+2x \le 5 $

Решим полученное двойное неравенство. Прибавим 14 ко всем частям:

$ -3 + 14 \le -14+2x + 14 \le 5 + 14 $

$ 11 \le 2x \le 19 $

Теперь разделим все части на 2:

$ \frac{11}{2} \le x \le \frac{19}{2} $

$ 5.5 \le x \le 9.5 $

Нам нужно найти количество натуральных чисел, удовлетворяющих этому условию. Натуральные числа, которые больше или равны 5.5 и меньше или равны 9.5, — это 6, 7, 8, 9.

Всего таких чисел четыре.

Ответ: 4