Номер 40.51, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.51, страница 166.

40.51 a) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x + 2 \geq 0;$

б) $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 < 0;$

В) $\left(\frac{1}{4}\right)^{2x-1} + 15 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x - 4 < 0;$

Г) $(0,5)^{2x-1} + 3 \cdot (0,5)^x - 2 \geq 0.$

а) Исходное неравенство: $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x + 2 \ge 0$.
Преобразуем первый член, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^x)^2$.
Неравенство принимает вид: $2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 2 \ge 0$.
Это квадратное неравенство относительно $2^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство относительно $t$: $2t^2 - 5t + 2 \ge 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2t^2 - 5t + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни уравнения: $t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Так как коэффициент при $t^2$ положителен ($2>0$), ветви параболы $y = 2t^2 - 5t + 2$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $2t^2 - 5t + 2 \ge 0$ выполняется при $t \le t_1$ или $t \ge t_2$.
Получаем совокупность: $t \le \frac{1}{2}$ или $t \ge 2$.
Учитывая условие $t > 0$, имеем: $0 < t \le \frac{1}{2}$ или $t \ge 2$.
Выполним обратную замену $t = 2^x$:
1) $0 < 2^x \le \frac{1}{2}$. Неравенство $2^x > 0$ выполняется для любого $x$. Решаем $2^x \le \frac{1}{2}$, что равносильно $2^x \le 2^{-1}$. Так как основание степени $2 > 1$, то функция $y=2^x$ возрастающая, поэтому $x \le -1$.
2) $2^x \ge 2$, что равносильно $2^x \ge 2^1$. Так как основание $2 > 1$, то $x \ge 1$.
Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 < 0$.
Преобразуем первый член: $3^{2x+1} = 3^{2x} \cdot 3^1 = 3 \cdot (3^x)^2$.
Неравенство принимает вид: $3 \cdot (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 3 < 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, при этом $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство: $3t^2 - 10t + 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $3t^2 - 10t + 3 = 0$.
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
Корни: $t_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $t_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.
Так как ветви параболы $y = 3t^2 - 10t + 3$ направлены вверх ($3>0$), решение неравенства $3t^2 - 10t + 3 < 0$ находится между корнями: $t_1 < t < t_2$.
То есть, $\frac{1}{3} < t < 3$. Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.
Выполним обратную замену $t = 3^x$:
$\frac{1}{3} < 3^x < 3$.
Представим границы интервала в виде степеней с основанием 3: $3^{-1} < 3^x < 3^1$.
Так как основание $3 > 1$, функция $y=3^x$ возрастающая, поэтому для показателей степеней неравенство сохраняется: $-1 < x < 1$.
Ответ: $x \in (-1, 1)$.

в) Исходное неравенство: $(\frac{1}{4})^{2x-1} + 15 \cdot (\frac{1}{4})^x - 4 < 0$.
Преобразуем первый член: $(\frac{1}{4})^{2x-1} = (\frac{1}{4})^{2x} \cdot (\frac{1}{4})^{-1} = ((\frac{1}{4})^x)^2 \cdot 4$.
Неравенство принимает вид: $4 \cdot ((\frac{1}{4})^x)^2 + 15 \cdot (\frac{1}{4})^x - 4 < 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = (\frac{1}{4})^x$, где $t > 0$.
Получаем неравенство: $4t^2 + 15t - 4 < 0$.
Найдем корни уравнения $4t^2 + 15t - 4 = 0$.
$D = 15^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289$.
Корни: $t_1 = \frac{-15 - \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{-15 - 17}{8} = -4$ и $t_2 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{-15 + 17}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Так как ветви параболы $y = 4t^2 + 15t - 4$ направлены вверх ($4>0$), решение неравенства находится между корнями: $-4 < t < \frac{1}{4}$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{1}{4}$.
Выполним обратную замену $t = (\frac{1}{4})^x$:
$0 < (\frac{1}{4})^x < \frac{1}{4}$.
Неравенство $(\frac{1}{4})^x > 0$ выполнено всегда. Решаем $(\frac{1}{4})^x < \frac{1}{4}$, что равносильно $(\frac{1}{4})^x < (\frac{1}{4})^1$.
Так как основание $0 < \frac{1}{4} < 1$, функция $y=(\frac{1}{4})^x$ убывающая, поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $x > 1$.
Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $(0,5)^{2x-1} + 3 \cdot (0,5)^x - 2 \ge 0$.
Запишем $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$: $(\frac{1}{2})^{2x-1} + 3 \cdot (\frac{1}{2})^x - 2 \ge 0$.
Преобразуем первый член: $(\frac{1}{2})^{2x-1} = (\frac{1}{2})^{2x} \cdot (\frac{1}{2})^{-1} = 2 \cdot ((\frac{1}{2})^x)^2$.
Неравенство принимает вид: $2 \cdot ((\frac{1}{2})^x)^2 + 3 \cdot (\frac{1}{2})^x - 2 \ge 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = (\frac{1}{2})^x$, где $t > 0$.
Получаем неравенство: $2t^2 + 3t - 2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2t^2 + 3t - 2 = 0$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Корни: $t_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = -2$ и $t_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ветви параболы $y = 2t^2 + 3t - 2$ направлены вверх ($2>0$), поэтому решение неравенства $2t^2 + 3t - 2 \ge 0$ есть $t \le -2$ или $t \ge \frac{1}{2}$.
Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем решение $t \le -2$. Остается $t \ge \frac{1}{2}$.
Выполним обратную замену $t = (\frac{1}{2})^x$:
$(\frac{1}{2})^x \ge \frac{1}{2}$, что равносильно $(\frac{1}{2})^x \ge (\frac{1}{2})^1$.
Так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция $y=(\frac{1}{2})^x$ убывающая, поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $x \le 1$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.