Номер 40.44, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.44, страница 165.

40.44 a) $4^{5x - 1} > 16^{3x + 2}$;

б) $\left(\frac{1}{7}\right)^{-3x + 1} \ge \left(\frac{1}{49}\right)^{x + 3}$;

в) $11^{-7x + 1} \le 121^{-2x - 10}$;

г) $(0,09)^{5x - 1} < 0,3^{x + 7}$.

а) $4^{5x-1} > 16^{3x+2}$

Для решения этого показательного неравенства необходимо привести обе его части к одному основанию. Заметим, что $16 = 4^2$.
$4^{5x-1} > (4^2)^{3x+2}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем правую часть:
$4^{5x-1} > 4^{2(3x+2)}$
$4^{5x-1} > 4^{6x+4}$
Так как основание степени $4 > 1$, показательная функция $y=4^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$5x - 1 > 6x + 4$
Теперь решим полученное линейное неравенство:
$5x - 6x > 4 + 1$
$-x > 5$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < -5$
Ответ: $x \in (-\infty; -5)$.

б) $(\frac{1}{7})^{-3x+1} \ge (\frac{1}{49})^{x+3}$

Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{1}{7}$. Мы знаем, что $\frac{1}{49} = (\frac{1}{7})^2$.
$(\frac{1}{7})^{-3x+1} \ge ((\frac{1}{7})^2)^{x+3}$
Применяем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(\frac{1}{7})^{-3x+1} \ge (\frac{1}{7})^{2(x+3)}$
$(\frac{1}{7})^{-3x+1} \ge (\frac{1}{7})^{2x+6}$
Так как основание степени $a = \frac{1}{7}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{7})^t$ является убывающей. Это значит, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства нужно изменить на противоположный:
$-3x + 1 \le 2x + 6$
Решаем линейное неравенство:
$-3x - 2x \le 6 - 1$
$-5x \le 5$
Делим обе части на -5 и меняем знак неравенства:
$x \ge -1$
Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

в) $11^{-7x+1} \le 121^{-2x-10}$

Приведем обе части к основанию 11, так как $121 = 11^2$.
$11^{-7x+1} \le (11^2)^{-2x-10}$
$11^{-7x+1} \le 11^{2(-2x-10)}$
$11^{-7x+1} \le 11^{-4x-20}$
Основание степени $11 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства для показателей сохраняется:
$-7x + 1 \le -4x - 20$
$-7x + 4x \le -20 - 1$
$-3x \le -21$
Делим обе части на -3, меняя знак неравенства на противоположный:
$x \ge 7$
Ответ: $x \in [7; +\infty)$.

г) $(0,09)^{5x-1} < 0,3^{x+7}$

Приведем обе части к общему основанию 0,3. Заметим, что $0,09 = (0,3)^2$.
$((0,3)^2)^{5x-1} < 0,3^{x+7}$
$(0,3)^{2(5x-1)} < 0,3^{x+7}$
$(0,3)^{10x-2} < 0,3^{x+7}$
Основание степени $a = 0,3$ находится в интервале $0 < a < 1$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$10x - 2 > x + 7$
Решаем полученное линейное неравенство:
$10x - x > 7 + 2$
$9x > 9$
$x > 1$
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.