Номер 40.42, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.42, страница 165.

40.42 a) $3^2 - 4 \leq 27;$

б) $(\frac{2}{3})^{3x+6} > \frac{4}{9};$

B) $5^{4x+2} \geq 125;$

Г) $(0,1)^{5x-9} < 0,001.$

а) $3^{x^2 - 4} \le 27$
Для решения показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 3.
Представим число 27 как степень тройки: $27 = 3^3$.
Неравенство принимает вид:
$3^{x^2 - 4} \le 3^3$
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 4 \le 3$
Теперь решим полученное квадратное неравенство:
$x^2 - 4 - 3 \le 0$
$x^2 - 7 \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 7 = 0$ :
$x^2 = 7 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{7}$
Графиком функции $y = x^2 - 7$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции будут меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $-\sqrt{7} \le x \le \sqrt{7}$.
В виде интервала это записывается как $[-\sqrt{7}; \sqrt{7}]$.
Ответ: $x \in [-\sqrt{7}; \sqrt{7}]$.

б) $(\frac{2}{3})^{3x+6} > \frac{4}{9}$
Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{2}{3}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$: $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$.
Неравенство принимает вид:
$(\frac{2}{3})^{3x+6} > (\frac{2}{3})^2$
Так как основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция $y=(\frac{2}{3})^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе от степеней к их показателям знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$3x + 6 < 2$
Решим полученное линейное неравенство:
$3x < 2 - 6$
$3x < -4$
$x < -\frac{4}{3}$
В виде интервала это записывается как $(-\infty; -\frac{4}{3})$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{4}{3})$.

в) $5^{4x+2} \ge 125$
Приведем обе части неравенства к основанию 5.
Представим число 125 как степень пятерки: $125 = 5^3$.
Неравенство принимает вид:
$5^{4x+2} \ge 5^3$
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям степеней сохраняется:
$4x + 2 \ge 3$
Решим полученное линейное неравенство:
$4x \ge 3 - 2$
$4x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{4}$
В виде интервала это записывается как $[\frac{1}{4}; +\infty)$.
Ответ: $x \in [\frac{1}{4}; +\infty)$.

г) $(0,1)^{5x-9} < 0,001$
Приведем обе части неравенства к основанию 0,1.
Представим число 0,001 как степень с основанием 0,1: $0,001 = \frac{1}{1000} = (\frac{1}{10})^3 = (0,1)^3$.
Неравенство принимает вид:
$(0,1)^{5x-9} < (0,1)^3$
Так как основание степени $0 < 0,1 < 1$, показательная функция $y=(0,1)^t$ является убывающей. При переходе к показателям степеней знак неравенства меняется на противоположный:
$5x - 9 > 3$
Решим полученное линейное неравенство:
$5x > 3 + 9$
$5x > 12$
$x > \frac{12}{5}$
$x > 2,4$
В виде интервала это записывается как $(2,4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (2,4; +\infty)$.