Номер 40.38, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.38, страница 164.

40.38 Найдите, при каких значениях параметра $a$ показательное уравнение имеет корни:

а) $2^x = a$;

б) $8^{3x + 1} = a + 3$;

в) $\sqrt[3]{3^x} = -a$;

г) $\left(\frac{1}{2}\right)^x = a^2$.

а)

Дано показательное уравнение $2^x = a$. Левая часть уравнения, $2^x$, представляет собой показательную функцию. Область значений любой показательной функции вида $y = b^x$ (где $b > 0$, $b \neq 1$) — это множество всех положительных действительных чисел, то есть $y \in (0, +\infty)$. Следовательно, для того чтобы уравнение имело хотя бы один корень, правая часть уравнения, параметр $a$, должна принимать значения из этой области. Таким образом, условие существования корней: $a > 0$.

Ответ: $a \in (0, +\infty)$.

б)

Дано показательное уравнение $8^{3x+1} = a + 3$. Левая часть уравнения, $8^{3x+1}$, является показательной функцией. Независимо от выражения в показателе степени (в данном случае $3x+1$, которое может принимать любое действительное значение), значение показательной функции всегда будет строго положительным. Область значений функции $y = 8^{3x+1}$ есть интервал $(0, +\infty)$. Для того чтобы уравнение имело корни, его правая часть должна быть строго положительной. Получаем неравенство: $a + 3 > 0$. Решая его, находим: $a > -3$.

Ответ: $a \in (-3, +\infty)$.

в)

Дано уравнение $\sqrt[3]{3^x} = -a$. Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степеней: $\sqrt[3]{3^x} = (3^x)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{x}{3}}$. Уравнение принимает вид: $3^{\frac{x}{3}} = -a$. Левая часть, $3^{\frac{x}{3}}$, — это показательная функция, область значений которой — все положительные числа, то есть $(0, +\infty)$. Следовательно, правая часть уравнения, $-a$, должна быть строго положительной. Запишем и решим неравенство: $-a > 0$. Умножив обе части на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный, получим: $a < 0$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0)$.

г)

Дано показательное уравнение $(\frac{1}{2})^x = a^2$. Левая часть уравнения, $(\frac{1}{2})^x$, является показательной функцией. Ее область значений — это множество всех положительных действительных чисел, то есть $(0, +\infty)$. Для существования корней правая часть уравнения, $a^2$, должна быть строго положительной: $a^2 > 0$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $a^2 \ge 0$. Условие $a^2 > 0$ будет выполняться для всех действительных значений $a$, за исключением случая, когда $a^2 = 0$. $a^2 = 0$ только при $a = 0$. Следовательно, уравнение имеет корни при всех значениях $a$, кроме $a=0$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.