Номер 40.31, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.31, страница 163.

40.31 a) $18^x - 8 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^x = 0;$

б) $12^x - 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0.$

а) $18^x - 8 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^x = 0$

Данное уравнение является однородным показательным уравнением. Для его решения разложим основания степеней на простые множители: $18 = 2 \cdot 3^2$, $6 = 2 \cdot 3$.

Перепишем исходное уравнение в новом виде:

$(2 \cdot 3^2)^x - 8 \cdot (2 \cdot 3)^x - 9 \cdot 2^x = 0$

$2^x \cdot (3^2)^x - 8 \cdot 2^x \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 0$

$2^x \cdot (3^x)^2 - 8 \cdot 2^x \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 0$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки. Так как $2^x > 0$ для любого действительного значения $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $2^x$, не опасаясь потери корней:

$(3^x)^2 - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

Теперь сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 - 8t - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = 9$

$t_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 10}{2} = -1$

Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $t > 0$.

Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет условию $t > 0$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t = 9$:

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

Отсюда следует, что $x = 2$.

Ответ: 2.

б) $12^x - 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0$

Как и в предыдущем задании, разложим основания степеней на множители: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$, $6 = 2 \cdot 3$. Также преобразуем $6^{x+1}$ по свойству степеней: $6^{x+1} = 6^x \cdot 6^1$.

Перепишем уравнение:

$(4 \cdot 3)^x - 6 \cdot 6^x + 8 \cdot 3^x = 0$

$4^x \cdot 3^x - 6 \cdot (2 \cdot 3)^x + 8 \cdot 3^x = 0$

$(2^2)^x \cdot 3^x - 6 \cdot 2^x \cdot 3^x + 8 \cdot 3^x = 0$

$(2^x)^2 \cdot 3^x - 6 \cdot 2^x \cdot 3^x + 8 \cdot 3^x = 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки. Так как $3^x > 0$ для любого действительного значения $x$, разделим обе части уравнения на $3^x$:

$(2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^x$. Условие для новой переменной: $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 6y + 8 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни:

$y_1 = 2$

$y_2 = 4$

Оба корня положительны, следовательно, оба удовлетворяют условию $y > 0$.

Выполним обратную замену для каждого из корней.

1) Для $y_1 = 2$:

$2^x = 2$

$2^x = 2^1$

$x_1 = 1$

2) Для $y_2 = 4$:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x_2 = 2$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: 1; 2.