Номер 40.36, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.36, страница 164.

40.36 a) $\begin{cases} \sqrt{3^{x-1}} \cdot \sqrt{9^y} = 27, \\ 2^{2x+y} : 2^x = 64; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt{6^{x-2y}} : \sqrt{6^x} = \frac{1}{6}, \\ \left(\frac{1}{3}\right)^{2x-y} \cdot 3^{x-2y} = \frac{1}{3}. \end{cases}$

a)

Решим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{3^{x-1}} \cdot \sqrt{9^y} = 27 \\ 2^{2x+y} : 2^x = 64 \end{cases} $$

Рассмотрим первое уравнение. Преобразуем его, приведя все члены к основанию 3.

Левая часть: $\sqrt{3^{x-1}} \cdot \sqrt{9^y} = (3^{x-1})^{\frac{1}{2}} \cdot (3^{2y})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{x-1}{2}} \cdot 3^y$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим $3^{\frac{x-1}{2} + y}$.

Правая часть: $27 = 3^3$.

Таким образом, уравнение принимает вид $3^{\frac{x-1}{2} + y} = 3^3$. Приравнивая показатели, получаем:

$$ \frac{x-1}{2} + y = 3 $$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$ x - 1 + 2y = 6 $$ $$ x + 2y = 7 $$

Теперь рассмотрим второе уравнение: $2^{2x+y} : 2^x = 64$.

Используя свойство степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$, преобразуем левую часть:

$$ 2^{2x+y} : 2^x = 2^{(2x+y)-x} = 2^{x+y} $$

Представим правую часть как степень двойки: $64 = 2^6$.

Уравнение принимает вид $2^{x+y} = 2^6$. Приравнивая показатели, получаем:

$$ x + y = 6 $$

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x + 2y = 7 \\ x + y = 6 \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ (x + 2y) - (x + y) = 7 - 6 $$ $$ y = 1 $$

Подставим найденное значение $y$ во второе уравнение:

$$ x + 1 = 6 $$ $$ x = 5 $$

Решение системы: $(5; 1)$.

Ответ: $(5; 1)$

б)

Решим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{6^{x-2y}} : \sqrt{6^x} = \frac{1}{6} \\ (\frac{1}{3})^{2x-y} \cdot 3^{x-2y} = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Рассмотрим первое уравнение. Преобразуем его, приведя все члены к основанию 6.

Используя свойства степеней $\sqrt{a^b} = a^{\frac{b}{2}}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$, преобразуем левую часть:

$$ \sqrt{6^{x-2y}} : \sqrt{6^x} = 6^{\frac{x-2y}{2}} : 6^{\frac{x}{2}} = 6^{\frac{x-2y-x}{2}} = 6^{\frac{-2y}{2}} = 6^{-y} $$

Правая часть: $\frac{1}{6} = 6^{-1}$.

Уравнение принимает вид $6^{-y} = 6^{-1}$. Приравнивая показатели, получаем:

$$ -y = -1 \implies y = 1 $$

Теперь рассмотрим второе уравнение: $(\frac{1}{3})^{2x-y} \cdot 3^{x-2y} = \frac{1}{3}$.

Преобразуем его, приведя все члены к основанию 3:

$$ (\frac{1}{3})^{2x-y} = (3^{-1})^{2x-y} = 3^{-2x+y} $$

Уравнение принимает вид $3^{-2x+y} \cdot 3^{x-2y} = 3^{-1}$. По свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$ 3^{(-2x+y) + (x-2y)} = 3^{-1} $$ $$ 3^{-x-y} = 3^{-1} $$

Приравнивая показатели, получаем:

$$ -x-y = -1 \implies x+y=1 $$

Мы уже нашли, что $y=1$. Подставим это значение в уравнение $x+y=1$:

$$ x + 1 = 1 $$ $$ x = 0 $$

Решение системы: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$