Номер 40.30, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.30, страница 163.

40.30 a) $24 \cdot 3^{2x^2-3x-2} - 2 \cdot 3^{2x^2-3x} + 3^{2x^2-3x-1} = 9;$

б) $5 \cdot 2^{x^2+5x+7} + 2^{x^2+5x+9} - 2^{x^2+5x+10} = 2.$

a)

Дано показательное уравнение: $24 \cdot 3^{2x^2 - 3x - 2} - 2 \cdot 3^{2x^2 - 3x} + 3^{2x^2 - 3x - 1} = 9$.

Заметим, что в показателях степеней есть общее выражение $2x^2 - 3x$. Используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем слагаемые так, чтобы выделить общий множитель $3^{2x^2 - 3x}$.

$3^{2x^2 - 3x - 2} = 3^{2x^2 - 3x} \cdot 3^{-2} = \frac{1}{9} \cdot 3^{2x^2 - 3x}$

$3^{2x^2 - 3x - 1} = 3^{2x^2 - 3x} \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} \cdot 3^{2x^2 - 3x}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$24 \cdot \left(\frac{1}{9} \cdot 3^{2x^2 - 3x}\right) - 2 \cdot 3^{2x^2 - 3x} + \frac{1}{3} \cdot 3^{2x^2 - 3x} = 9$

$\frac{24}{9} \cdot 3^{2x^2 - 3x} - 2 \cdot 3^{2x^2 - 3x} + \frac{1}{3} \cdot 3^{2x^2 - 3x} = 9$

Сократим дробь $\frac{24}{9}$ до $\frac{8}{3}$ и вынесем общий множитель $3^{2x^2 - 3x}$ за скобки:

$3^{2x^2 - 3x} \left(\frac{8}{3} - 2 + \frac{1}{3}\right) = 9$

Вычислим значение выражения в скобках:

$\frac{8}{3} + \frac{1}{3} - 2 = \frac{9}{3} - 2 = 3 - 2 = 1$

Уравнение принимает вид:

$3^{2x^2 - 3x} \cdot 1 = 9$

$3^{2x^2 - 3x} = 3^2$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$2x^2 - 3x = 2$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -0.5$.

б)

Дано показательное уравнение: $5 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} + 2^{x^2 + 5x + 9} - 2^{x^2 + 5x + 10} = 2$.

Заметим, что в показателях степеней есть общее выражение $x^2 + 5x$. Преобразуем слагаемые, выделив множитель с наименьшей степенью, то есть $2^{x^2 + 5x + 7}$.

$2^{x^2 + 5x + 9} = 2^{(x^2 + 5x + 7) + 2} = 2^{x^2 + 5x + 7} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7}$

$2^{x^2 + 5x + 10} = 2^{(x^2 + 5x + 7) + 3} = 2^{x^2 + 5x + 7} \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$5 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} + 4 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} - 8 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} = 2$

Вынесем общий множитель $2^{x^2 + 5x + 7}$ за скобки:

$2^{x^2 + 5x + 7} (5 + 4 - 8) = 2$

Вычислим значение выражения в скобках:

$5 + 4 - 8 = 9 - 8 = 1$

Уравнение принимает вид:

$2^{x^2 + 5x + 7} \cdot 1 = 2$

$2^{x^2 + 5x + 7} = 2^1$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x^2 + 5x + 7 = 1$

$x^2 + 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $6$. Легко подобрать корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -3$.