Номер 40.23, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.23, страница 163.

40.23 а) $3^x = -x - \frac{2}{3}$;

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 4x + 6$;

В) $2x + 1,8 = -5^x$;

Г) $\left(\frac{1}{4}\right)^x = 3x + 1$.

а) Данное уравнение $3^x = -x - \frac{2}{3}$ является трансцендентным. Для его решения рассмотрим графики функций левой и правой частей: $y_1(x) = 3^x$ и $y_2(x) = -x - \frac{2}{3}$.
Функция $y_1(x) = 3^x$ — показательная с основанием больше 1, поэтому она является строго возрастающей на всей числовой прямой.
Функция $y_2(x) = -x - \frac{2}{3}$ — линейная с отрицательным угловым коэффициентом ($-1$), поэтому она является строго убывающей.
Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.
Найдем этот корень методом подбора. Проверим значение $x = -1$:
Левая часть: $3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Правая часть: $-(-1) - \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
Так как $ \frac{1}{3} = \frac{1}{3} $, то $x = -1$ является корнем уравнения. Поскольку этот корень единственный, он и является решением.
Ответ: $x = -1$.

б) Рассмотрим уравнение $(\frac{1}{2})^x = 4x + 6$.
Введем две функции: $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2(x) = 4x + 6$.
Функция $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ — показательная с основанием меньше 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), поэтому она является строго убывающей.
Функция $y_2(x) = 4x + 6$ — линейная с положительным угловым коэффициентом (4), поэтому она является строго возрастающей.
Строго убывающая и строго возрастающая функции могут иметь не более одной точки пересечения, значит, уравнение имеет не более одного решения.
Найдем решение методом подбора. Проверим $x = -1$:
Левая часть: $(\frac{1}{2})^{-1} = 2^1 = 2$.
Правая часть: $4(-1) + 6 = -4 + 6 = 2$.
Поскольку $2 = 2$, $x = -1$ является решением уравнения. Так как решение единственное, это и есть ответ.
Ответ: $x = -1$.

в) Рассмотрим уравнение $2x + 1,8 = -5^x$.
Преобразуем уравнение, перенеся все члены в левую часть: $5^x + 2x + 1,8 = 0$.
Рассмотрим функцию $f(x) = 5^x + 2x + 1,8$. Эта функция представляет собой сумму двух функций: $y_1(x) = 5^x$ и $y_2(x) = 2x + 1,8$.
Функция $y_1(x) = 5^x$ — показательная, строго возрастающая.
Функция $y_2(x) = 2x + 1,8$ — линейная, строго возрастающая.
Сумма двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией.
Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза. Следовательно, уравнение $f(x)=0$ имеет не более одного корня.
Найдем этот корень подбором. Проверим $x = -1$:
$5^{-1} + 2(-1) + 1,8 = \frac{1}{5} - 2 + 1,8 = 0,2 - 2 + 1,8 = 0$.
Значение $x = -1$ обращает уравнение в верное равенство. Так как корень единственный, это и есть решение.
Ответ: $x = -1$.

г) Рассмотрим уравнение $(\frac{1}{4})^x = 3x + 1$.
Введем две функции: $y_1(x) = (\frac{1}{4})^x$ и $y_2(x) = 3x + 1$.
Функция $y_1(x) = (\frac{1}{4})^x$ — показательная с основанием $0 < \frac{1}{4} < 1$, поэтому она строго убывает.
Функция $y_2(x) = 3x + 1$ — линейная с положительным коэффициентом $3$, поэтому она строго возрастает.
Так как одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, уравнение может иметь не более одного корня.
Найдем корень методом подбора. Проверим $x = 0$:
Левая часть: $(\frac{1}{4})^0 = 1$.
Правая часть: $3(0) + 1 = 1$.
Так как $1=1$, $x = 0$ является корнем уравнения. В силу единственности, это и есть окончательное решение.
Ответ: $x = 0$.