Номер 40.20, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.20, страница 162.

40.20 a) $3^x \cdot 7^{x+2} = 49 \cdot 4^x;$

б) $2^{x+1} \cdot 5^{x+3} = 250 \cdot 9^x.$

а) $3^x \cdot 7^{x+2} = 49 \cdot 4^x$

Для решения данного показательного уравнения преобразуем его, приведя к удобному для сравнения виду.

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ для члена $7^{x+2}$ и представим число 49 как степень семерки ($49 = 7^2$):

$3^x \cdot (7^x \cdot 7^2) = 7^2 \cdot 4^x$

$3^x \cdot 7^x \cdot 49 = 49 \cdot 4^x$

Разделим обе части уравнения на 49. Так как $49 \neq 0$, это допустимое действие:

$3^x \cdot 7^x = 4^x$

Сгруппируем члены с переменной $x$ в одной части уравнения. Для этого разделим обе части на $4^x$. Так как $4^x > 0$ при любом значении $x$, деление на $4^x$ не приведет к потере корней.

$\frac{3^x \cdot 7^x}{4^x} = 1$

Используя свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, объединим основания:

$(\frac{3 \cdot 7}{4})^x = 1$

$(\frac{21}{4})^x = 1$

Уравнение вида $a^x = 1$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) имеет единственное решение $x=0$. В нашем случае основание $\frac{21}{4} \neq 1$, следовательно:

$x = 0$

Ответ: $x=0$.

б) $2^{x+1} \cdot 5^{x+3} = 250 \cdot 9^x$

Преобразуем данное показательное уравнение, используя свойства степеней и разложение чисел на множители.

Применим свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$(2^x \cdot 2^1) \cdot (5^x \cdot 5^3) = 250 \cdot 9^x$

Вычислим числовые коэффициенты: $2^1 = 2$ и $5^3 = 125$.

$2 \cdot 2^x \cdot 125 \cdot 5^x = 250 \cdot 9^x$

Сгруппируем коэффициенты и степени с одинаковым показателем $x$ в левой части уравнения:

$(2 \cdot 125) \cdot (2^x \cdot 5^x) = 250 \cdot 9^x$

$250 \cdot (2 \cdot 5)^x = 250 \cdot 9^x$

$250 \cdot 10^x = 250 \cdot 9^x$

Разделим обе части уравнения на 250 (так как $250 \neq 0$):

$10^x = 9^x$

Разделим обе части на $9^x$. Так как $9^x > 0$ при любом значении $x$, это преобразование является равносильным.

$\frac{10^x}{9^x} = 1$

$(\frac{10}{9})^x = 1$

Поскольку основание степени $\frac{10}{9}$ не равно 1, равенство выполняется только тогда, когда показатель степени равен нулю.

$x=0$

Ответ: $x=0$.