Номер 40.13, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.13, страница 161.

40.13 a) $3^x - 3^{x+3} = -78$;

б) $5^{2x-1} - 5^{2x-3} = 4,8$;

в) $2 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} - 7 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+8} = 49$;

г) $\left(\frac{1}{3}\right)^{5x-1} + \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \frac{4}{9}$.

а)

Дано показательное уравнение $3^x - 3^{x+3} = -78$.
Для решения воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Преобразуем член $3^{x+3}$:
$3^{x+3} = 3^x \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^x$.
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$3^x - 27 \cdot 3^x = -78$.
Теперь можно вынести общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(1 - 27) = -78$.
Выполним вычитание в скобках:
$3^x(-26) = -78$.
Чтобы найти $3^x$, разделим обе части уравнения на -26:
$3^x = \frac{-78}{-26}$.
$3^x = 3$.
Поскольку $3$ можно представить как $3^1$, получаем уравнение $3^x = 3^1$.
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

б)

Дано уравнение $5^{2x-1} - 5^{2x-3} = 4,8$.
Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем члены уравнения:
$5^{2x-1} = \frac{5^{2x}}{5^1} = \frac{5^{2x}}{5}$,
$5^{2x-3} = \frac{5^{2x}}{5^3} = \frac{5^{2x}}{125}$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$\frac{5^{2x}}{5} - \frac{5^{2x}}{125} = 4,8$.
Вынесем общий множитель $5^{2x}$ за скобки:
$5^{2x}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{125}\right) = 4,8$.
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 125:
$5^{2x}\left(\frac{25}{125} - \frac{1}{125}\right) = 4,8$.
$5^{2x}\left(\frac{24}{125}\right) = 4,8$.
Представим десятичную дробь $4,8$ в виде обыкновенной: $4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$.
Уравнение принимает вид:
$5^{2x} \cdot \frac{24}{125} = \frac{24}{5}$.
Разделим обе части на $\frac{24}{125}$:
$5^{2x} = \frac{24}{5} \div \frac{24}{125} = \frac{24}{5} \cdot \frac{125}{24}$.
Сократим дробь на 24:
$5^{2x} = \frac{125}{5} = 25$.
Представим 25 как степень с основанием 5: $25 = 5^2$.
$5^{2x} = 5^2$.
Приравниваем показатели степеней:
$2x = 2$,
$x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

в)

Дано уравнение $2 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} - 7 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+8} = 49$.
Преобразуем второй член уравнения, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+8} = \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^1 = \frac{1}{7} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$2 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} - 7 \cdot \left(\frac{1}{7} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7}\right) = 49$.
Упростим второй член:
$2 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} - 1 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} = 49$.
Вынесем общий множитель $\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7}$ за скобки:
$\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} \cdot (2 - 1) = 49$.
$\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} \cdot 1 = 49$.
$\left(\frac{1}{7}\right)^{3x+7} = 49$.
Чтобы решить уравнение, приведем обе его части к одному основанию, например, к 7.
Мы знаем, что $\frac{1}{7} = 7^{-1}$ и $49 = 7^2$.
$(7^{-1})^{3x+7} = 7^2$.
По свойству $(a^m)^n = a^{mn}$:
$7^{-1 \cdot (3x+7)} = 7^2$.
$7^{-3x-7} = 7^2$.
Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели:
$-3x - 7 = 2$.
$-3x = 9$.
$x = \frac{9}{-3} = -3$.

Ответ: $x = -3$.

г)

Дано уравнение $\left(\frac{1}{3}\right)^{5x-1} + \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \frac{4}{9}$.
Преобразуем первый член уравнения, используя свойство $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x-1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$.
Поскольку $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3$, выражение становится равным $3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{5x}$.
Подставим это в уравнение:
$3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} + 1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \frac{4}{9}$.
Вынесем общий множитель $\left(\frac{1}{3}\right)^{5x}$ за скобки:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x}(3+1) = \frac{4}{9}$.
$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x} \cdot 4 = \frac{4}{9}$.
Разделим обе части на 4:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \frac{4}{9 \cdot 4} = \frac{1}{9}$.
Представим правую часть как степень с основанием $\frac{1}{3}$:
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$.
Теперь уравнение имеет вид:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{5x} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$.
Приравниваем показатели степеней:
$5x = 2$.
$x = \frac{2}{5}$.

Ответ: $x = \frac{2}{5}$.