Номер 40.7, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.7, страница 161.

40.7 a) $3^{x^2 - 4,5} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{27}$;

б) $0,5^{x^2 - 5,5} \cdot \sqrt{0,5} = 32$;

в) $\sqrt{2^{-1}} \cdot 2^{x^2 - 7,5} = \frac{1}{128}$;

г) $0,1^{x^2 - 0,5} \cdot \sqrt{0,1} = 0,001$.

а) $3^{x^2 - 4,5} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{27}$

Чтобы решить это показательное уравнение, приведем все его части к одному основанию, в данном случае к основанию 3.

Представим $\sqrt{3}$ и $\frac{1}{27}$ в виде степени с основанием 3:

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} = 3^{0,5}$

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3^{x^2 - 4,5} \cdot 3^{0,5} = 3^{-3}$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели в левой части:

$3^{(x^2 - 4,5) + 0,5} = 3^{-3}$

$3^{x^2 - 4} = 3^{-3}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 - 4 = -3$

Решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 = 4 - 3$

$x^2 = 1$

$x = \pm \sqrt{1}$

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

б) $0,5^{x^2 - 5,5} \cdot \sqrt{0,5} = 32$

Приведем все части уравнения к основанию 2.

Представим $0,5$, $\sqrt{0,5}$ и $32$ в виде степени с основанием 2:

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

$\sqrt{0,5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = (2^{-1})^{\frac{1}{2}} = 2^{-0,5}$

$32 = 2^5$

Подставим эти выражения в уравнение:

$(2^{-1})^{x^2 - 5,5} \cdot 2^{-0,5} = 2^5$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, раскроем скобки в левой части:

$2^{-1 \cdot (x^2 - 5,5)} \cdot 2^{-0,5} = 2^5$

$2^{-x^2 + 5,5} \cdot 2^{-0,5} = 2^5$

Сложим показатели степеней в левой части:

$2^{(-x^2 + 5,5) - 0,5} = 2^5$

$2^{-x^2 + 5} = 2^5$

Приравниваем показатели степеней:

$-x^2 + 5 = 5$

Решаем уравнение:

$-x^2 = 0$

$x^2 = 0$

$x = 0$

Ответ: $x=0$.

в) $\sqrt{2^{-1}} \cdot 2^{x^2 - 7,5} = \frac{1}{128}$

Приведем все части уравнения к основанию 2.

Представим $\sqrt{2^{-1}}$ и $\frac{1}{128}$ в виде степени с основанием 2:

$\sqrt{2^{-1}} = (2^{-1})^{\frac{1}{2}} = 2^{-1 \cdot 0,5} = 2^{-0,5}$

$\frac{1}{128} = \frac{1}{2^7} = 2^{-7}$

Подставим эти выражения в уравнение:

$2^{-0,5} \cdot 2^{x^2 - 7,5} = 2^{-7}$

Сложим показатели степеней в левой части:

$2^{-0,5 + (x^2 - 7,5)} = 2^{-7}$

$2^{x^2 - 8} = 2^{-7}$

Приравниваем показатели степеней:

$x^2 - 8 = -7$

Решаем полученное квадратное уравнение:

$x^2 = 8 - 7$

$x^2 = 1$

$x = \pm \sqrt{1}$

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

г) $0,1^{x^2 - 0,5} \cdot \sqrt{0,1} = 0,001$

Приведем все части уравнения к основанию 0,1.

Представим $\sqrt{0,1}$ и $0,001$ в виде степени с основанием 0,1:

$\sqrt{0,1} = (0,1)^{\frac{1}{2}} = 0,1^{0,5}$

$0,001 = (0,1)^3$

Подставим эти выражения в уравнение:

$0,1^{x^2 - 0,5} \cdot 0,1^{0,5} = 0,1^3$

Сложим показатели степеней в левой части:

$0,1^{(x^2 - 0,5) + 0,5} = 0,1^3$

$0,1^{x^2} = 0,1^3$

Приравниваем показатели степеней:

$x^2 = 3$

Решаем уравнение:

$x = \pm \sqrt{3}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$.