Номер 39.49, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.49, страница 160.

39.49 Постройте график функции:

а) $y = 2^{|x|}$;

В) $y = 4^{|x|}$;

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x-1|}$;

Г) $y = 0,2^{|x+2|}$.

а)

Чтобы построить график функции $y = 2^{|x|}$, рассмотрим два случая, раскрывая модуль:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 2^x$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = 2^{-x}$, что то же самое, что $y = (\frac{1}{2})^x$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} 2^x, & \text{если } x \ge 0 \\ 2^{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Алгоритм построения графика:

1. Строим график показательной функции $y = 2^x$ для неотрицательных значений $x$. Этот график проходит через точки $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$.
2. Строим график показательной функции $y = 2^{-x}$ для отрицательных значений $x$. Этот график проходит через точки $(-1, 2)$, $(-2, 4)$.

Можно также заметить, что функция $y = 2^{|x|}$ является четной, так как $y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (OY). Поэтому можно построить ветвь для $x \ge 0$ (график $y=2^x$) и отразить ее симметрично относительно оси OY, чтобы получить ветвь для $x < 0$.

График состоит из двух ветвей, выходящих из точки $(0, 1)$, которая является точкой минимума функции.

Ответ: График функции $y = 2^{|x|}$ состоит из графика функции $y = 2^x$ при $x \ge 0$ и графика функции $y = 2^{-x}$ при $x < 0$. График симметричен относительно оси OY и имеет точку минимума $(0, 1)$.

б)

Для построения графика функции $y = (\frac{1}{3})^{|x-1|}$ раскроем модуль $|x-1|$:

1. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, то $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид $y = (\frac{1}{3})^{x-1}$.
2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, то $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Функция принимает вид $y = (\frac{1}{3})^{1-x} = ((\frac{1}{3})^{-1})^{x-1} = 3^{x-1}$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} (\frac{1}{3})^{x-1}, & \text{если } x \ge 1 \\ 3^{x-1}, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

Построение графика можно выполнить с помощью преобразований:

1. Начнем с базового графика $y = (\frac{1}{3})^{|x|}$. Этот график симметричен относительно оси OY и состоит из двух частей: $y = (\frac{1}{3})^x$ для $x \ge 0$ и $y = 3^x$ для $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 1)$.
2. График искомой функции $y = (\frac{1}{3})^{|x-1|}$ получается из графика $y = (\frac{1}{3})^{|x|}$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси OX.

Осью симметрии графика будет прямая $x=1$. Точка $(1, 1)$ будет точкой максимума функции. Для построения найдем несколько точек:

• При $x=1$, $y = (\frac{1}{3})^{|1-1|} = (\frac{1}{3})^0 = 1$. Точка $(1, 1)$.
• При $x=2$, $y = (\frac{1}{3})^{|2-1|} = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$. Точка $(2, \frac{1}{3})$.
• При $x=0$, $y = (\frac{1}{3})^{|0-1|} = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$. Точка $(0, \frac{1}{3})$.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{3})^{|x-1|}$ симметричен относительно прямой $x=1$ и имеет точку максимума $(1, 1)$. Он состоит из графика $y = (\frac{1}{3})^{x-1}$ при $x \ge 1$ и графика $y = 3^{x-1}$ при $x < 1$.

в)

Построение графика функции $y = 4^{|x|}$ аналогично пункту а). Раскроем модуль:

$y = \begin{cases} 4^x, & \text{если } x \ge 0 \\ 4^{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Функция является четной ($y(-x) = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси OY.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = 4^x$ для $x \ge 0$. Это возрастающая показательная функция, проходящая через точки $(0, 1)$, $(1, 4)$, $(2, 16)$.
2. Отражаем эту часть графика симметрично относительно оси OY для получения части графика при $x < 0$. Эта ветвь будет соответствовать функции $y = 4^{-x} = (\frac{1}{4})^x$ и пройдет через точки $(-1, 4)$, $(-2, 16)$.

График имеет точку минимума в $(0, 1)$. По сравнению с графиком $y=2^{|x|}$, ветви графика $y=4^{|x|}$ растут быстрее (более "круто" прижимаются к оси OY).

Ответ: График функции $y=4^{|x|}$ строится путем построения графика $y=4^x$ для $x \ge 0$ и его симметричного отражения относительно оси OY. График симметричен относительно оси OY и имеет минимум в точке $(0,1)$.

г)

Для построения графика функции $y = 0.2^{|x+2|}$ раскроем модуль $|x+2|$. Заметим, что $0.2 = \frac{1}{5}$.

1. Если $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$, то $|x+2| = x+2$. Функция принимает вид $y = 0.2^{x+2}$.
2. Если $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$, то $|x+2| = -(x+2)$. Функция принимает вид $y = 0.2^{-(x+2)} = (\frac{1}{5})^{-(x+2)} = 5^{x+2}$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} 0.2^{x+2}, & \text{если } x \ge -2 \\ 5^{x+2}, & \text{если } x < -2 \end{cases}$

Построение графика можно выполнить с помощью преобразований:

1. Начнем с базового графика $y = 0.2^{|x|}$. Этот график симметричен относительно оси OY, имеет максимум в точке $(0, 1)$ и состоит из частей $y = 0.2^x$ (для $x \ge 0$) и $y = 5^x$ (для $x < 0$).
2. График искомой функции $y = 0.2^{|x+2|}$ получается из графика $y = 0.2^{|x|}$ путем сдвига на 2 единицы влево вдоль оси OX (так как $x+2 = x - (-2)$).

Осью симметрии графика будет прямая $x=-2$. Точка $(-2, 1)$ будет точкой максимума функции. Для построения найдем несколько точек:

• При $x=-2$, $y = 0.2^{|-2+2|} = 0.2^0 = 1$. Точка $(-2, 1)$.
• При $x=-1$, $y = 0.2^{|-1+2|} = 0.2^1 = 0.2$. Точка $(-1, 0.2)$.
• При $x=-3$, $y = 0.2^{|-3+2|} = 0.2^{|-1|} = 0.2^1 = 0.2$. Точка $(-3, 0.2)$.

Ответ: График функции $y = 0.2^{|x+2|}$ получается сдвигом графика $y = 0.2^{|x|}$ на 2 единицы влево. График симметричен относительно прямой $x=-2$ и имеет точку максимума $(-2,1)$.