Номер 39.46, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.46, страница 159.

Решите неравенство:

39.46 a) $3^x \ge 4 - x;$

б) $(\frac{1}{2})^x \le x + 3;$

в) $5^x < 6 - x;$

г) $(\frac{1}{7})^x > x + 8.$

а) $3^x \ge 4 - x$

Для решения этого неравенства рассмотрим две функции: $y_1(x) = 3^x$ и $y_2(x) = 4 - x$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y_1(x)$ находится не ниже графика функции $y_2(x)$.

Проанализируем свойства функций. Функция $y_1(x) = 3^x$ является показательной с основанием $3 > 1$, поэтому она строго возрастает на всей числовой прямой. Функция $y_2(x) = 4 - x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $-1$, поэтому она строго убывает на всей числовой прямой.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $y_1(x) = y_2(x)$: $3^x = 4 - x$. Методом подбора легко найти корень. При $x=1$ левая часть равна $3^1 = 3$, и правая часть равна $4 - 1 = 3$. Значит, $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Поскольку $y_1(x)$ возрастает, а $y_2(x)$ убывает, то при $x > 1$ значения $y_1(x)$ будут больше значений $y_2(x)$, а при $x < 1$ — наоборот. В точке $x=1$ значения функций равны. Исходное неравенство $3^x \ge 4 - x$ является нестрогим, поэтому точка $x=1$ входит в решение. Таким образом, неравенство выполняется при всех $x$, больших или равных 1.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

б) $(\frac{1}{2})^x \le x + 3$

Рассмотрим функции $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2(x) = x + 3$. Необходимо найти $x$, при которых $y_1(x) \le y_2(x)$.

Функция $y_1(x) = (\frac{1}{2})^x$ — показательная с основанием $\frac{1}{2} \in (0, 1)$, она является строго убывающей. Функция $y_2(x) = x + 3$ — линейная с положительным угловым коэффициентом $1$, она является строго возрастающей.

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересечься только в одной точке. Найдем ее из уравнения $(\frac{1}{2})^x = x + 3$. Подбором находим корень. При $x=-1$ левая часть равна $(\frac{1}{2})^{-1} = 2$, и правая часть равна $-1 + 3 = 2$. Следовательно, $x=-1$ — точка пересечения.

Так как $y_1(x)$ убывает, а $y_2(x)$ возрастает, то при $x > -1$ будет выполняться неравенство $y_1(x) < y_2(x)$, а при $x < -1$ — неравенство $y_1(x) > y_2(x)$. В точке $x=-1$ функции равны. Так как исходное неравенство нестрогое ($\le$), точка $x=-1$ включается в решение.

Ответ: $x \in [-1, +\infty)$.

в) $5^x < 6 - x$

Рассмотрим функции $y_1(x) = 5^x$ и $y_2(x) = 6 - x$. Необходимо найти $x$, при которых $y_1(x) < y_2(x)$.

Функция $y_1(x) = 5^x$ — показательная с основанием $5 > 1$, она строго возрастает. Функция $y_2(x) = 6 - x$ — линейная, она строго убывает.

Найдем точку пересечения, решив уравнение $5^x = 6 - x$. Подбором находим корень. При $x=1$ левая часть равна $5^1 = 5$, и правая часть равна $6 - 1 = 5$. Значит, $x=1$ — единственный корень.

Поскольку $y_1(x)$ возрастает, а $y_2(x)$ убывает, то для $x < 1$ выполняется неравенство $y_1(x) < y_2(x)$, а для $x > 1$ — неравенство $y_1(x) > y_2(x)$. Исходное неравенство строгое (<), поэтому сама точка пересечения $x=1$ в решение не входит.

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.

г) $(\frac{1}{7})^x > x + 8$

Рассмотрим функции $y_1(x) = (\frac{1}{7})^x$ и $y_2(x) = x + 8$. Необходимо найти $x$, при которых $y_1(x) > y_2(x)$.

Функция $y_1(x) = (\frac{1}{7})^x$ — показательная с основанием $\frac{1}{7} \in (0, 1)$, она является строго убывающей. Функция $y_2(x) = x + 8$ — линейная, она является строго возрастающей.

Найдем точку пересечения из уравнения $(\frac{1}{7})^x = x + 8$. Подбором находим корень. При $x=-1$ левая часть равна $(\frac{1}{7})^{-1} = 7$, и правая часть равна $-1 + 8 = 7$. Следовательно, $x=-1$ — единственный корень.

Так как $y_1(x)$ убывает, а $y_2(x)$ возрастает, то при $x < -1$ выполняется неравенство $y_1(x) > y_2(x)$, а при $x > -1$ — неравенство $y_1(x) < y_2(x)$. Исходное неравенство строгое ($>$), поэтому точка пересечения $x=-1$ в решение не входит.

Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.