Номер 39.40, страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.40, страница 158.

39.40 a) $2^x = -2x + 8;$

б) $(\left(\frac{1}{3}\right))^x = x + 11;$

В) $3^x = -x + 1;$

Г) $0.2^x = x + 6.$

а)

Рассмотрим функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1 = 2^x$ и $y_2 = -2x + 8$.

Функция $y_1 = 2^x$ является показательной и строго возрастает на всей числовой оси. Функция $y_2 = -2x + 8$ является линейной и строго убывает, так как её угловой коэффициент отрицателен ($k=-2$).

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, уравнение может иметь не более одного корня. Найдем этот корень методом подбора.

Проверим значение $x=2$.

Левая часть: $2^2 = 4$.

Правая часть: $-2 \cdot 2 + 8 = -4 + 8 = 4$.

Так как левая и правая части равны ($4=4$), $x=2$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: $2$.

б)

Рассмотрим функции $y_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ и $y_2 = x + 11$.

Функция $y_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ является показательной с основанием $a=\frac{1}{3}$, где $0 < a < 1$, поэтому она строго убывает. Функция $y_2 = x + 11$ является линейной и строго возрастает ($k=1$).

Из-за различной монотонности функций уравнение может иметь не более одного корня. Найдем его подбором.

Проверим значение $x=-2$.

Левая часть: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9$.

Правая часть: $-2 + 11 = 9$.

Поскольку $9=9$, $x=-2$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $-2$.

в)

Рассмотрим функции $y_1 = 3^x$ и $y_2 = -x + 1$.

Функция $y_1 = 3^x$ является показательной с основанием $a=3 > 1$, поэтому она строго возрастает. Функция $y_2 = -x + 1$ является линейной и строго убывает ($k=-1$).

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, у уравнения не может быть более одного корня. Найдем его подбором.

Проверим значение $x=0$.

Левая часть: $3^0 = 1$.

Правая часть: $-0 + 1 = 1$.

Поскольку $1=1$, $x=0$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: $0$.

г)

Представим $0,2$ в виде дроби: $0,2 = \frac{1}{5}$. Уравнение примет вид $\left(\frac{1}{5}\right)^x = x + 6$.

Рассмотрим функции $y_1 = \left(\frac{1}{5}\right)^x$ и $y_2 = x + 6$.

Функция $y_1 = \left(\frac{1}{5}\right)^x$ является показательной и строго убывает, так как ее основание $\frac{1}{5}$ находится в интервале $(0, 1)$. Функция $y_2 = x + 6$ является линейной и строго возрастает ($k=1$).

В силу различной монотонности функций уравнение может иметь не более одного корня. Найдем его подбором.

Проверим значение $x=-1$.

Левая часть: $0,2^{-1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5$.

Правая часть: $-1 + 6 = 5$.

Так как $5=5$, $x=-1$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: $-1$.