Номер 39.34, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.34, страница 157.

39.34 а) $2^{3x} = 128$;

б) $6^{3x} = 216$;

В) $3^{2x} = \frac{1}{27}$;

Г) $\left(\frac{1}{7}\right)^{5x} = \frac{1}{343}$.

а) Чтобы решить уравнение $2^{3x} = 128$, необходимо привести обе части уравнения к одному основанию.
Основание в левой части — 2. Представим число 128 как степень числа 2.
$2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32, 2^6 = 64, 2^7 = 128$.
Таким образом, $128 = 2^7$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$2^{3x} = 2^7$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$3x = 7$
Теперь найдем $x$:
$x = \frac{7}{3}$
Ответ: $x = \frac{7}{3}$.

б) Решим уравнение $6^{3x} = 216$.
Приведем обе части уравнения к основанию 6.
Вычислим степени числа 6: $6^1 = 6$, $6^2 = 36$, $6^3 = 216$.
Значит, $216 = 6^3$.
Запишем уравнение в новом виде:
$6^{3x} = 6^3$
Приравниваем показатели степеней:
$3x = 3$
Находим $x$:
$x = \frac{3}{3} = 1$
Ответ: $x = 1$.

в) Решим уравнение $3^{2x} = \frac{1}{27}$.
Приведем обе части к основанию 3.
Сначала представим 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.
Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получим:
$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$
Подставим это в уравнение:
$3^{2x} = 3^{-3}$
Приравниваем показатели:
$2x = -3$
Находим $x$:
$x = -\frac{3}{2}$
Ответ: $x = -1,5$.

г) Решим уравнение $(\frac{1}{7})^{5x} = \frac{1}{343}$.
Основание в левой части — $\frac{1}{7}$. Приведем правую часть к этому же основанию.
Найдем, какой степенью числа 7 является число 343:
$7^1 = 7$, $7^2 = 49$, $7^3 = 343$.
Значит, $343 = 7^3$.
Тогда правую часть можно записать так:
$\frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = (\frac{1}{7})^3$
Уравнение принимает вид:
$(\frac{1}{7})^{5x} = (\frac{1}{7})^3$
Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:
$5x = 3$
Находим $x$:
$x = \frac{3}{5}$
Ответ: $x = 0,6$.