Номер 39.35, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.35, страница 157.

Решите неравенство:

39.35 а) $4^x \le 64$;

б) $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{8}$;

в) $5^x \ge 25$;

г) $(\frac{2}{3})^x < \frac{8}{27}$.

а) $4^x \le 64$

Чтобы решить это показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае удобно использовать основание 4.

Представим число 64 как степень числа 4:

$64 = 4 \cdot 16 = 4 \cdot 4^2 = 4^3$

Теперь неравенство можно переписать в виде:

$4^x \le 4^3$

Так как основание степени $a=4$ больше 1 ($4>1$), показательная функция $y=4^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется.

$x \le 3$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty, 3]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3]$.

б) $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{8}$

Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{1}{2}$.

Представим правую часть $\frac{1}{8}$ как степень с основанием $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = (\frac{1}{2})^3$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^3$

Основание степени $a=\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Это значит, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$x < 3$

Решением является промежуток $(-\infty, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3)$.

в) $5^x \ge 25$

Приведем обе части неравенства к основанию 5.

Представим число 25 как степень числа 5:

$25 = 5^2$

Неравенство можно записать как:

$5^x \ge 5^2$

Основание степени $a=5$ больше 1 ($5>1$), поэтому показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям степеней сохраняется.

$x \ge 2$

Решением неравенства является промежуток $[2, +\infty)$.

Ответ: $x \in [2, +\infty)$.

г) $(\frac{2}{3})^x < \frac{8}{27}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{2}{3}$.

Представим дробь $\frac{8}{27}$ как степень с основанием $\frac{2}{3}$:

$\frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} = (\frac{2}{3})^3$

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$(\frac{2}{3})^x < (\frac{2}{3})^3$

Так как основание степени $a=\frac{2}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{2}{3})^x$ является убывающей. При переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный.

$x > 3$

Решением является промежуток $(3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (3, +\infty)$.