Номер 39.38, страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.38, страница 158.

39.38 а) $y = 5^{x+1}$;

б) $y = \left(\frac{3}{4}\right)^{x-2}$;

В) $y = 3^{x-2}$;

Г) $y = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+0,5}$.

Для нахождения функции, обратной к данной показательной функции, необходимо выполнить следующие шаги:
1. В уравнении функции $y = f(x)$ поменять местами переменные $x$ и $y$.
2. Полученное уравнение $x = f(y)$ решить относительно $y$.
Результатом будет искомая обратная функция.

а) Дана функция $y = 5^{x+1}$. Чтобы найти обратную ей функцию, поменяем местами переменные $x$ и $y$:

$x = 5^{y+1}$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Для этого прологарифмируем обе части по основанию 5:

$\log_5(x) = \log_5(5^{y+1})$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$\log_5(x) = y + 1$

Откуда находим $y$:

$y = \log_5(x) - 1$

Это и есть искомая обратная функция.

Ответ: $y = \log_5(x) - 1$.

б) Дана функция $y = (\frac{3}{4})^{x-2}$. Чтобы найти обратную ей функцию, поменяем местами переменные $x$ и $y$:

$x = (\frac{3}{4})^{y-2}$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Прологарифмируем обе части по основанию $\frac{3}{4}$:

$\log_{\frac{3}{4}}(x) = \log_{\frac{3}{4}}((\frac{3}{4})^{y-2})$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$\log_{\frac{3}{4}}(x) = y - 2$

Откуда находим $y$:

$y = \log_{\frac{3}{4}}(x) + 2$

Это и есть искомая обратная функция.

Ответ: $y = \log_{\frac{3}{4}}(x) + 2$.

в) Дана функция $y = 3^x - 2$. Чтобы найти обратную ей функцию, поменяем местами переменные $x$ и $y$:

$x = 3^y - 2$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Сначала изолируем показательное выражение:

$x + 2 = 3^y$

Прологарифмируем обе части по основанию 3:

$\log_3(x+2) = \log_3(3^y)$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$\log_3(x+2) = y$

Таким образом, искомая обратная функция:

$y = \log_3(x+2)$

Ответ: $y = \log_3(x+2)$.

г) Дана функция $y = (\frac{2}{3})^{x+0.5}$. Чтобы найти обратную ей функцию, поменяем местами переменные $x$ и $y$:

$x = (\frac{2}{3})^{y+0.5}$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Прологарифмируем обе части по основанию $\frac{2}{3}$:

$\log_{\frac{2}{3}}(x) = \log_{\frac{2}{3}}((\frac{2}{3})^{y+0.5})$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$\log_{\frac{2}{3}}(x) = y + 0.5$

Откуда находим $y$:

$y = \log_{\frac{2}{3}}(x) - 0.5$

Это и есть искомая обратная функция.

Ответ: $y = \log_{\frac{2}{3}}(x) - 0.5$.