Номер 39.41, страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.41, страница 158.

При каких значениях $x$ график заданной показательной функции лежит выше графика заданной линейной функции:

39.41 a) $y = 3^x, y = -x + 1;$

в) $y = 5^x, y = -2x + 1;$

б) $y = 0.5^x, y = 2x + 1;$

г) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x, y = x + 1?$

а) $y = 3^x$, $y = -x + 1$

Чтобы найти значения $x$, при которых график показательной функции $y = 3^x$ лежит выше графика линейной функции $y = -x + 1$, необходимо решить неравенство:

$3^x > -x + 1$

Для решения этого трансцендентного неравенства найдем сначала точки пересечения графиков, решив уравнение $3^x = -x + 1$. Подбором легко найти корень $x = 0$, так как $3^0 = 1$ и $-0 + 1 = 1$.

Чтобы доказать, что этот корень единственный, рассмотрим функцию $f(x) = 3^x + x - 1$. Её производная $f'(x) = 3^x \ln(3) + 1$. Так как $3^x > 0$ и $\ln(3) > 0$, производная $f'(x)$ всегда положительна. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси и, следовательно, может иметь не более одного корня. Таким образом, $x = 0$ — единственная точка пересечения графиков.

Так как функции непрерывны, а точка пересечения единственная, нам достаточно проверить знак неравенства $3^x > -x + 1$ в любой точке на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

Возьмем точку $x = 1$ (справа от 0): $3^1 > -1 + 1 \Rightarrow 3 > 0$. Неравенство верное.

Возьмем точку $x = -1$ (слева от 0): $3^{-1} > -(-1) + 1 \Rightarrow \frac{1}{3} > 2$. Неравенство неверное.

Следовательно, график функции $y=3^x$ лежит выше графика $y=-x+1$ при $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

б) $y = 0,5^x$, $y = 2x + 1$

Требуется найти значения $x$, при которых выполняется неравенство:

$0,5^x > 2x + 1$

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $0,5^x = 2x + 1$. При $x = 0$ получаем $0,5^0 = 1$ и $2 \cdot 0 + 1 = 1$. Значит, $x=0$ — корень уравнения.

Рассмотрим функцию $f(x) = 0,5^x - 2x - 1$. Её производная $f'(x) = 0,5^x \ln(0,5) - 2$. Так как $0,5^x > 0$ и $\ln(0,5) < 0$, первое слагаемое отрицательно. Значит, $f'(x)$ всегда меньше нуля. Функция $f(x)$ является строго убывающей, поэтому она пересекает ось абсцисс только в одной точке. Следовательно, $x=0$ — единственный корень.

Проверим выполнение неравенства на интервалах, на которые точка $x=0$ делит числовую ось.

При $x = 1$: $0,5^1 > 2 \cdot 1 + 1 \Rightarrow 0,5 > 3$. Неравенство неверное.

При $x = -1$: $0,5^{-1} > 2 \cdot (-1) + 1 \Rightarrow 2 > -1$. Неравенство верное.

Таким образом, график $y=0,5^x$ лежит выше графика $y=2x+1$ при $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

в) $y = 5^x$, $y = -2x + 1$

Задача сводится к решению неравенства:

$5^x > -2x + 1$

Найдем точку пересечения, решив уравнение $5^x = -2x + 1$. Подстановкой убеждаемся, что $x=0$ является корнем: $5^0 = 1$ и $-2 \cdot 0 + 1 = 1$.

Рассмотрим функцию $f(x) = 5^x + 2x - 1$. Её производная $f'(x) = 5^x \ln(5) + 2$. Поскольку $5^x > 0$ и $\ln(5) > 0$, производная $f'(x)$ всегда положительна. Функция $f(x)$ строго возрастает, а значит, имеет не более одного корня. Таким образом, $x=0$ — единственное решение уравнения.

Проверим знак неравенства на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

При $x = 1$: $5^1 > -2 \cdot 1 + 1 \Rightarrow 5 > -1$. Неравенство верное.

При $x = -1$: $5^{-1} > -2 \cdot (-1) + 1 \Rightarrow 0,2 > 3$. Неравенство неверное.

Следовательно, график функции $y=5^x$ лежит выше графика $y=-2x+1$ при $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

г) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $y = x + 1$

Нам нужно решить неравенство:

$\left(\frac{1}{3}\right)^x > x + 1$

Найдем точку пересечения графиков из уравнения $\left(\frac{1}{3}\right)^x = x + 1$. При $x=0$ левая часть равна $\left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$, правая часть равна $0+1=1$. Значит, $x=0$ — корень.

Рассмотрим функцию $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x - x - 1$. Её производная $f'(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x \ln\left(\frac{1}{3}\right) - 1$. Так как $\left(\frac{1}{3}\right)^x > 0$ и $\ln\left(\frac{1}{3}\right) = -\ln(3) < 0$, первое слагаемое отрицательно. Вся производная $f'(x)$ отрицательна. Функция $f(x)$ является строго убывающей и может иметь только один корень. Следовательно, $x=0$ — единственная точка пересечения.

Проверим выполнение неравенства на интервалах.

При $x = 1$: $\left(\frac{1}{3}\right)^1 > 1 + 1 \Rightarrow \frac{1}{3} > 2$. Неравенство неверное.

При $x = -1$: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} > -1 + 1 \Rightarrow 3 > 0$. Неравенство верное.

Значит, график функции $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ лежит выше графика $y=x+1$ при $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.