Номер 39.36, страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.36, страница 158.

39.36 a) $\left(\frac{1}{3}\right)^x \ge 81;$

б) $15^x < \frac{1}{225};$

В) $\left(\frac{2}{7}\right)^x \le \frac{343}{8};$

Г) $2^x > \frac{1}{256}.$

а) $(\frac{1}{3})^x \ge 81$

Чтобы решить это показательное неравенство, необходимо привести обе его части к одному и тому же основанию. В качестве общего основания выберем $\frac{1}{3}$.

Представим число 81 в виде степени числа 3: $81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$.

Далее, используя свойство степени $a^n = (\frac{1}{a})^{-n}$, представим $3^4$ как степень с основанием $\frac{1}{3}$:

$81 = 3^4 = (\frac{1}{3})^{-4}$

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$(\frac{1}{3})^x \ge (\frac{1}{3})^{-4}$

Так как основание степени $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y = (\frac{1}{3})^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$x \le -4$

Ответ: $x \le -4$.

б) $15^x < \frac{1}{225}$

Приведем обе части неравенства к основанию 15.

Число 225 является квадратом числа 15, то есть $225 = 15^2$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, представим правую часть неравенства:

$\frac{1}{225} = \frac{1}{15^2} = 15^{-2}$

Теперь неравенство имеет вид:

$15^x < 15^{-2}$

Так как основание степени $a = 15$ больше 1 ($a > 1$), показательная функция $y = 15^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется.

$x < -2$

Ответ: $x < -2$.

в) $(\frac{2}{7})^x \le \frac{343}{8}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. В левой части основание равно $\frac{2}{7}$. Постараемся привести правую часть к этому же основанию.

Представим числа 343 и 8 в виде степеней: $343 = 7^3$ и $8 = 2^3$.

Тогда правая часть неравенства равна:

$\frac{343}{8} = \frac{7^3}{2^3} = (\frac{7}{2})^3$

Чтобы перейти от основания $\frac{7}{2}$ к основанию $\frac{2}{7}$, воспользуемся свойством $(\frac{b}{a})^n = (\frac{a}{b})^{-n}$:

$(\frac{7}{2})^3 = (\frac{2}{7})^{-3}$

Исходное неравенство принимает вид:

$(\frac{2}{7})^x \le (\frac{2}{7})^{-3}$

Основание степени $a = \frac{2}{7}$ находится в интервале $0 < a < 1$, следовательно, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей степеней меняем знак неравенства на противоположный.

$x \ge -3$

Ответ: $x \ge -3$.

г) $2^x > \frac{1}{256}$

Приведем обе части неравенства к основанию 2.

Представим число 256 как степень числа 2: $2^8 = 256$.

Тогда правую часть неравенства можно записать как:

$\frac{1}{256} = \frac{1}{2^8} = 2^{-8}$

Неравенство принимает вид:

$2^x > 2^{-8}$

Так как основание степени $a = 2$ больше 1 ($a > 1$), показательная функция $y = 2^x$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется.

$x > -8$

Ответ: $x > -8$.