Номер 39.29, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.29, страница 157.

39.29 a) $y = 3^x + 1$;

б) $y = \left(\frac{7}{9}\right)^x + 6$;

В) $y = 17^x - 2$;

Г) $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x - 8.

а) $y = 3^x + 1$

Для нахождения области значений функции проанализируем ее составляющие. Функция является суммой показательной функции $3^x$ и константы 1. Область значений показательной функции $f(x) = a^x$, где $a > 0$ и $a \ne 1$, есть множество всех положительных действительных чисел. Это означает, что $a^x > 0$ для любого $x$. В нашем случае, основание $a=3$, поэтому для любого действительного $x$ выполняется неравенство $3^x > 0$. Чтобы найти область значений исходной функции $y = 3^x + 1$, мы прибавляем 1 к обеим частям этого неравенства: $3^x + 1 > 0 + 1$ $y > 1$ Таким образом, область значений функции состоит из всех чисел, строго больших 1.

Ответ: $(1; +\infty)$

б) $y = \left(\frac{7}{9}\right)^x + 6$

Эта функция также является суммой показательной функции $\left(\frac{7}{9}\right)^x$ и константы 6. Основание показательной функции $a = \frac{7}{9}$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \ne 1$. Следовательно, область значений функции $\left(\frac{7}{9}\right)^x$ есть множество всех положительных чисел, то есть $\left(\frac{7}{9}\right)^x > 0$ для любого $x$. Чтобы найти область значений функции $y = \left(\frac{7}{9}\right)^x + 6$, прибавим 6 к обеим частям неравенства: $\left(\frac{7}{9}\right)^x + 6 > 0 + 6$ $y > 6$ Следовательно, область значений функции состоит из всех чисел, строго больших 6.

Ответ: $(6; +\infty)$

в) $y = 17^x - 2$

Данная функция представляет собой разность показательной функции $17^x$ и константы 2. Основание показательной функции $a=17$, что больше 1. Область значений $17^x$ — это все положительные числа: $17^x > 0$. Для нахождения области значений функции $y = 17^x - 2$, вычтем 2 из обеих частей неравенства: $17^x - 2 > 0 - 2$ $y > -2$ Таким образом, область значений функции — это все числа, строго большие -2.

Ответ: $(-2; +\infty)$

г) $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x - 8$

Эта функция является разностью показательной функции $\left(\frac{2}{5}\right)^x$ и константы 8. Основание показательной функции $a = \frac{2}{5}$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \ne 1$. Поэтому для любого $x$ выполняется неравенство $\left(\frac{2}{5}\right)^x > 0$. Чтобы найти область значений функции $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x - 8$, вычтем 8 из обеих частей неравенства: $\left(\frac{2}{5}\right)^x - 8 > 0 - 8$ $y > -8$ Следовательно, область значений функции состоит из всех чисел, строго больших -8.

Ответ: $(-8; +\infty)$