Номер 39.27, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.27, страница 156.

39.27 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \left(\frac{1}{4}\right)^x, \text{ если } x \le 0, \\ \cos x, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

a) Вычислите $f(-3); f(-2); f(-1,5); f(0); f\left(\frac{\pi}{4}\right); f\left(\frac{3\pi}{2}\right)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции.

а) Для вычисления значений функции $f(x)$ необходимо определить, какому из двух промежутков, $x \le 0$ или $x > 0$, принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

При $x = -3$:
Так как $-3 \le 0$, используем формулу $f(x) = (\frac{1}{4})^x$.
$f(-3) = (\frac{1}{4})^{-3} = 4^3 = 64$.

При $x = -2$:
Так как $-2 \le 0$, используем формулу $f(x) = (\frac{1}{4})^x$.
$f(-2) = (\frac{1}{4})^{-2} = 4^2 = 16$.

При $x = -1,5$:
Так как $-1,5 \le 0$, используем формулу $f(x) = (\frac{1}{4})^x$.
$f(-1,5) = (\frac{1}{4})^{-1,5} = (\frac{1}{4})^{-3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = 8$.

При $x = 0$:
Так как $0 \le 0$, используем формулу $f(x) = (\frac{1}{4})^x$.
$f(0) = (\frac{1}{4})^0 = 1$.

При $x = \frac{\pi}{4}$:
Так как $\frac{\pi}{4} > 0$ (поскольку $\pi \approx 3,14$), используем формулу $f(x) = \cos x$.
$f(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

При $x = \frac{3\pi}{2}$:
Так как $\frac{3\pi}{2} > 0$, используем формулу $f(x) = \cos x$.
$f(\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

Ответ: $f(-3) = 64$; $f(-2) = 16$; $f(-1,5) = 8$; $f(0) = 1$; $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $f(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

б) Для построения графика функции $y = f(x)$ мы строим его по частям для двух интервалов.

1. На промежутке $(-\infty, 0]$ строим график показательной функции $y = (\frac{1}{4})^x$. Это убывающая кривая, проходящая через точки, которые мы вычислили в пункте а): $(-2, 16)$, $(-1,5, 8)$, $(-1, 4)$, $(0, 1)$. При $x \to -\infty$, $y \to +\infty$. Точка $(0, 1)$ принадлежит этому участку графика.

2. На промежутке $(0, \infty)$ строим график тригонометрической функции $y = \cos x$. Это известная косинусоида. Она начинается от точки $(0, 1)$ (которая не входит в этот промежуток, но совпадает с конечной точкой предыдущего участка, что делает функцию непрерывной) и колеблется между $y=1$ и $y=-1$. Ключевые точки: пересечение с осью Ох в точках $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$; точки минимума $(-1)$ в $x = \pi, 3\pi, \dots$; точки максимума $(1)$ в $x = 2\pi, 4\pi, \dots$.

Объединив эти два графика, мы получим итоговый график функции $y = f(x)$. Это непрерывная линия, которая для отрицательных $x$ является убывающей экспонентой, а для положительных $x$ — косинусоидой.

Ответ: График функции представляет собой комбинацию графика функции $y = (\frac{1}{4})^x$ на луче $(-\infty, 0]$ и графика функции $y = \cos x$ на луче $(0, \infty)$.

в) Свойства функции $y = f(x)$ на основе ее графика и определения:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Для $x \le 0$, значения функции $y \ge 1$. Для $x > 0$, значения функции $y \in [-1, 1]$. Объединяя эти множества, получаем область значений $E(f) = [-1; +\infty)$.

3. Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения, так как $\lim_{x\to 0^-} f(x) = 1$, $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1$ и $f(0) = 1$.

4. Нули функции: $f(x) = 0$. Для $x \le 0$ нулей нет, так как $(\frac{1}{4})^x > 0$. Для $x>0$ решаем $\cos x = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$).

5. Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси Оy, ни относительно начала координат. Например, $f(\pi) = -1$, а $f(-\pi) = 4^\pi \ne \pm f(\pi)$.

6. Промежутки монотонности:
- Функция убывает на промежутках $(-\infty, \pi]$ и $[2\pi k, (2k+1)\pi]$ для всех $k \in \mathbb{N}$ (т.е. $k=1, 2, 3, \dots$).
- Функция возрастает на промежутках $[(2k-1)\pi, 2k\pi]$ для всех $k \in \mathbb{N}$.

7. Экстремумы:
- Точки минимума: $x_{min} = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$. Минимальное значение функции $y_{min} = -1$.
- Точки максимума: $x_{max} = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{N}$ (т.е. $k=1, 2, 3, \dots$). Максимальное значение в этих точках $y_{max} = 1$. Точка $(0, 1)$ не является точкой экстремума.

8. Промежутки знакопостоянства:
- $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, \frac{\pi}{2}) \cup \bigcup_{k=1}^{\infty} (\frac{(4k-1)\pi}{2}, \frac{(4k+1)\pi}{2})$.
- $f(x) < 0$ при $x \in \bigcup_{k=0}^{\infty} (\frac{(4k+1)\pi}{2}, \frac{(4k+3)\pi}{2})$.

Ответ: Перечисленные выше свойства функции.