Номер 39.20, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.20, страница 155.

39.20 a) $y = (\sqrt{2})^x$, $(-\infty; 4];$

B) $y = (\sqrt[3]{5})^x$, $[0; +\infty);$

б) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x$, $(-\infty; 2];$

г) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^x$, $[-2; +\infty).$

Для нахождения множества значений (области значений) показательной функции $y = a^x$ на заданном промежутке необходимо проанализировать основание $a$ и поведение функции на границах промежутка.

• Если $a > 1$, функция монотонно возрастает.
• Если $0 < a < 1$, функция монотонно убывает.

а)

Дана функция $y = (\sqrt{2})^x$ на промежутке $(-\infty; 4]$.

Основание функции $a = \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $a > 1$. Это означает, что функция является монотонно возрастающей.

Поскольку функция возрастает, ее наибольшее значение на промежутке $(-\infty; 4]$ будет достигаться в правой крайней точке $x = 4$. $y_{max} = (\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^{4/2} = 2^2 = 4$.

При $x$, стремящемся к $-\infty$, значение функции $y$ стремится к 0, но никогда его не достигает: $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{2})^x = 0$.

Таким образом, множество значений функции на промежутке $(-\infty; 4]$ — это интервал от 0 (не включая) до 4 (включая).

Ответ: $(0; 4]$.

б)

Дана функция $y = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x$ на промежутке $(-\infty; 2]$.

Основание функции $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $\sqrt{3} > 1$, то $0 < \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$. Это означает, что функция является монотонно убывающей.

Поскольку функция убывает, ее наименьшее значение на промежутке $(-\infty; 2]$ будет достигаться в правой крайней точке $x = 2$. $y_{min} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{(\sqrt{3})^2} = \frac{1}{3}$.

При $x$, стремящемся к $-\infty$, значение функции $y$ стремится к $+\infty$: $\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x = \lim_{x \to -\infty} (3^{-1/2})^x = \lim_{x \to -\infty} 3^{-x/2} = +\infty$.

Таким образом, множество значений функции на промежутке $(-\infty; 2]$ — это луч от $\frac{1}{3}$ (включая) до $+\infty$.

Ответ: $[\frac{1}{3}; +\infty)$.

в)

Дана функция $y = (\sqrt[3]{5})^x$ на промежутке $[0; +\infty)$.

Основание функции $a = \sqrt[3]{5}$. Так как $1^3=1$ и $2^3=8$, то $\sqrt[3]{5} > 1$. Это означает, что функция является монотонно возрастающей.

Поскольку функция возрастает, ее наименьшее значение на промежутке $[0; +\infty)$ будет достигаться в левой крайней точке $x = 0$. $y_{min} = (\sqrt[3]{5})^0 = 1$.

При $x$, стремящемся к $+\infty$, значение функции $y$ также стремится к $+\infty$: $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt[3]{5})^x = +\infty$.

Таким образом, множество значений функции на промежутке $[0; +\infty)$ — это луч от 1 (включая) до $+\infty$.

Ответ: $[1; +\infty)$.

г)

Дана функция $y = \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^x$ на промежутке $[-2; +\infty)$.

Основание функции $a = \frac{1}{\sqrt{7}}$. Так как $\sqrt{7} > 1$, то $0 < \frac{1}{\sqrt{7}} < 1$. Это означает, что функция является монотонно убывающей.

Поскольку функция убывает, ее наибольшее значение на промежутке $[-2; +\infty)$ будет достигаться в левой крайней точке $x = -2$. $y_{max} = \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2} = (\sqrt{7})^2 = 7$.

При $x$, стремящемся к $+\infty$, значение функции $y$ стремится к 0, но никогда его не достигает: $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^x = 0$.

Таким образом, множество значений функции на промежутке $[-2; +\infty)$ — это интервал от 0 (не включая) до 7 (включая).

Ответ: $(0; 7]$.