Номер 39.21, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.21, страница 155.

39.21 Найдите, на каком отрезке функция $y = 2^x$ принимает наибольшее значение, равное 32, и наименьшее, равное $\frac{1}{2}$.

Дана функция $y = 2^x$. Так как основание степени $2 > 1$, данная показательная функция является строго возрастающей на всей своей области определения.

Это означает, что на любом отрезке $[a, b]$ функция будет принимать свое наименьшее значение в левой точке отрезка ($x=a$) и наибольшее значение в правой точке отрезка ($x=b$).

Нам нужно найти такой отрезок $[a, b]$, что $y(a) = \frac{1}{2}$ и $y(b) = 32$.

Найдем левую границу отрезка $a$, решив уравнение:
$2^a = \frac{1}{2}$
Поскольку $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, получаем:
$2^a = 2^{-1}$
$a = -1$

Теперь найдем правую границу отрезка $b$, решив уравнение:
$2^b = 32$
Поскольку $32 = 2^5$, получаем:
$2^b = 2^5$
$b = 5$

Следовательно, искомый отрезок, на котором функция $y = 2^x$ принимает наименьшее значение $\frac{1}{2}$ и наибольшее значение $32$, это отрезок $[-1; 5]$.

Ответ: $[-1; 5]$.