Номер 39.26, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.26, страница 156.

39.26 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^x, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x} + 1, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-5)$; $f(-2,5)$; $f(0)$; $f(4)$; $f(1,69)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции.

а) Вычислите f(-5); f(-2,5); f(0); f(4); f(1,69);

Для вычисления значений функции $f(x)$ необходимо выбрать нужную формулу в зависимости от знака аргумента $x$.

При $x < 0$ используется формула $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$.
При $x \ge 0$ используется формула $f(x) = \sqrt{x} + 1$.

1. Для $x = -5$: так как $-5 < 0$, используем первую формулу:
$f(-5) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = 2^5 = 32$.

2. Для $x = -2,5$: так как $-2,5 < 0$, используем первую формулу:
$f(-2,5) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2,5} = \left(2^{-1}\right)^{-2,5} = 2^{2,5} = 2^{5/2} = \sqrt{2^5} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

3. Для $x = 0$: так как $0 \ge 0$, используем вторую формулу:
$f(0) = \sqrt{0} + 1 = 0 + 1 = 1$.

4. Для $x = 4$: так как $4 \ge 0$, используем вторую формулу:
$f(4) = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3$.

5. Для $x = 1,69$: так как $1,69 \ge 0$, используем вторую формулу:
$f(1,69) = \sqrt{1,69} + 1 = 1,3 + 1 = 2,3$.

Ответ: $f(-5) = 32$; $f(-2,5) = 4\sqrt{2}$; $f(0) = 1$; $f(4) = 3$; $f(1,69) = 2,3$.

б) постройте график функции y = f(x);

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей:
1. При $x < 0$ график совпадает с графиком показательной функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$. Это убывающая кривая, которая проходит через точки $(-2, 4)$, $(-1, 2)$ и слева приближается к точке $(0, 1)$.
2. При $x \ge 0$ график совпадает с графиком функции $y = \sqrt{x} + 1$. Это ветвь параболы, смещенная на 1 единицу вверх. Она начинается в точке $(0, 1)$ и проходит через точки $(1, 2)$, $(4, 3)$.

Так как предел функции слева в точке $x=0$ равен $\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{1}{2}\right)^x = 1$ и значение функции в этой точке $f(0) = 1$, то функция является непрерывной. График представляет собой единую линию без разрывов.

Ответ: График функции построен и представлен на изображении выше.

в) прочитайте график функции.

Прочитаем график, то есть опишем основные свойства функции $y=f(x)$:
1. Область определения: График определен для любых значений $x$, от $-\infty$ до $+\infty$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Наименьшее значение функции достигается в точке $(0, 1)$, ордината которой равна 1. Все остальные значения функции больше 1. Следовательно, область значений $E(f) = [1; +\infty)$.
3. Нули функции: График не пересекает ось абсцисс $Ox$, так как полностью расположен выше нее. Нулей у функции нет.
4. Промежутки знакопостоянства: Так как $y \ge 1$ для всех $x$, функция принимает только положительные значения. $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.
5. Монотонность: На промежутке $(-\infty, 0)$ график идет вниз при движении слева направо, следовательно, функция убывает. На промежутке $[0, +\infty)$ график идет вверх, следовательно, функция возрастает.
6. Точки экстремума: В точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием. Это точка минимума. $x_{min} = 0$, минимальное значение функции $y_{min} = f(0) = 1$.
7. Четность и нечетность: График не симметричен ни относительно оси ординат $Oy$, ни относительно начала координат. Значит, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
8. Непрерывность: График является сплошной линией, без точек разрыва. Функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции: 1) область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$; 2) область значений $E(f) = [1; +\infty)$; 3) нулей нет; 4) функция убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$; 5) точка минимума $(0, 1)$; 6) функция общего вида; 7) непрерывна на всей области определения.