Номер 39.19, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.19, страница 155.

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:

39.19 a) $y = 2^x$, $[1; 4];$

в) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $[0; 4];$

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $[-4; -2];$

г) $y = 2^x$, $[-4; 2].$

а)

Дана функция $y = 2^x$ на промежутке $[1; 4]$.
Основание показательной функции $a=2$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом.
Найдем наименьшее значение при $x=1$:
$y_{наим} = 2^1 = 2$.
Найдем наибольшее значение при $x=4$:
$y_{наиб} = 2^4 = 16$.

Ответ: наименьшее значение $2$, наибольшее значение $16$.

б)

Дана функция $y = (\frac{1}{3})^x$ на промежутке $[-4; -2]$.
Основание показательной функции $a=\frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает на правом конце промежутка, а наибольшее — на левом.
Найдем наибольшее значение при $x=-4$:
$y_{наиб} = (\frac{1}{3})^{-4} = 3^4 = 81$.
Найдем наименьшее значение при $x=-2$:
$y_{наим} = (\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$.

Ответ: наименьшее значение $9$, наибольшее значение $81$.

в)

Дана функция $y = (\frac{1}{3})^x$ на промежутке $[0; 4]$.
Основание показательной функции $a=\frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает на правом конце промежутка, а наибольшее — на левом.
Найдем наибольшее значение при $x=0$:
$y_{наиб} = (\frac{1}{3})^0 = 1$.
Найдем наименьшее значение при $x=4$:
$y_{наим} = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{81}$, наибольшее значение $1$.

г)

Дана функция $y = 2^x$ на промежутке $[-4; 2]$.
Основание показательной функции $a=2$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом.
Найдем наименьшее значение при $x=-4$:
$y_{наим} = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Найдем наибольшее значение при $x=2$:
$y_{наиб} = 2^2 = 4$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{16}$, наибольшее значение $4$.