Номер 39.12, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.12, страница 154.

39.12 Укажите, какие из заданных функций не ограничены сверху:

а) $y = -3x^2 + 1$;

б) $y = (0,6)^x$;

в) $y = (7,2)^x$;

г) $y = \cos x$.

Функция называется неограниченной сверху, если множество её значений не ограничено сверху. Это означает, что для любого, сколь угодно большого числа $M$, существует такое значение аргумента $x_0$, для которого выполняется неравенство $f(x_0) > M$. Проанализируем каждую из заданных функций на предмет ограниченности сверху.

а) $y = -3x^2 + 1$
Данная функция является квадратичной. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-3 < 0$). Это означает, что функция имеет глобальный максимум в вершине параболы. Координата $x$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-3)} = 0$. Максимальное значение функции: $y_{max} = y(0) = -3(0)^2 + 1 = 1$. Таким образом, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $y(x) \le 1$.
Ответ: функция ограничена сверху.

б) $y = (0,6)^x$
Это показательная функция с основанием $a = 0,6$. Поскольку основание удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей. Область значений данной функции — $(0; +\infty)$. При устремлении аргумента $x$ к минус бесконечности ($x \to -\infty$), значения функции неограниченно возрастают: $\lim_{x \to -\infty} (0,6)^x = +\infty$. Это означает, что для любого числа $M$ можно найти такое $x$, что $(0,6)^x > M$.
Ответ: функция не ограничена сверху.

в) $y = (7,2)^x$
Это показательная функция с основанием $a = 7,2$. Поскольку основание $a > 1$, функция является монотонно возрастающей. Область значений данной функции — $(0; +\infty)$. При устремлении аргумента $x$ к плюс бесконечности ($x \to +\infty$), значения функции неограниченно возрастают: $\lim_{x \to +\infty} (7,2)^x = +\infty$. Это означает, что для любого числа $M$ можно найти такое $x$, что $(7,2)^x > M$.
Ответ: функция не ограничена сверху.

г) $y = \cos x$
Это тригонометрическая функция косинус. Множество значений этой функции — отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$. Максимальное значение функции равно 1.
Ответ: функция ограничена сверху.

Таким образом, из заданных функций не ограничены сверху функции б) $y = (0,6)^x$ и в) $y = (7,2)^x$.