Номер 39.5, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.5, страница 153.

39.5 а) $4^{3,5} : 4^3;$

б) $(\frac{1}{2})^{-6,3} : (\frac{1}{2})^{-2,3};$

В) $8^{2\frac{1}{3}} : 8^2;$

Г) $(\frac{2}{3})^{2,4} : (\frac{2}{3})^{-0,6}.$

а) Для решения этого примера используется свойство деления степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при делении степеней их показатели вычитаются, а основание остается прежним. Формула выглядит так: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В данном случае основание $a = 4$, а показатели $m = 3,5$ и $n = 3$.

Выполним вычисление:

$4^{3,5} : 4^3 = 4^{3,5 - 3} = 4^{0,5}$

Степень $0,5$ эквивалентна извлечению квадратного корня. Таким образом:

$4^{0,5} = \sqrt{4} = 2$

Ответ: 2

б) Здесь мы применяем то же самое свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Основанием является дробь $a = \frac{1}{2}$, а показателями степеней служат $m = -6,3$ и $n = -2,3$.

Подставляем значения в формулу:

$(\frac{1}{2})^{-6,3} : (\frac{1}{2})^{-2,3} = (\frac{1}{2})^{-6,3 - (-2,3)} = (\frac{1}{2})^{-6,3 + 2,3} = (\frac{1}{2})^{-4}$

Отрицательная степень означает, что нужно взять обратное число к основанию (перевернуть дробь) и возвести его в степень с положительным показателем, то есть $a^{-k} = (\frac{1}{a})^k$.

$(\frac{1}{2})^{-4} = (\frac{2}{1})^4 = 2^4 = 16$

Ответ: 16

в) Снова воспользуемся правилом деления степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В этом примере основание $a = 8$, а показатели $m = 2\frac{1}{3}$ и $n = 2$.

Сначала вычтем показатели:

$2\frac{1}{3} - 2 = \frac{1}{3}$

Таким образом, исходное выражение упрощается до:

$8^{2\frac{1}{3}} : 8^2 = 8^{2\frac{1}{3} - 2} = 8^{\frac{1}{3}}$

Дробная степень $\frac{1}{3}$ означает извлечение кубического корня.

$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$, поскольку $2^3 = 8$.

Ответ: 2

г) Применяем уже известное нам правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Основание $a = \frac{2}{3}$, а показатели степеней $m = 2,4$ и $n = -0,6$.

Выполним вычитание показателей, помня, что вычитание отрицательного числа равносильно сложению:

$(\frac{2}{3})^{2,4} : (\frac{2}{3})^{-0,6} = (\frac{2}{3})^{2,4 - (-0,6)} = (\frac{2}{3})^{2,4 + 0,6} = (\frac{2}{3})^3$

Далее необходимо возвести дробь в третью степень:

$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$

Ответ: $\frac{8}{27}$