Номер 39.7, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.7, страница 154.

39.7 а) $ (2^{-3})^2 \cdot 2^5; $

б) $ (\left(\frac{2}{3}\right)^{4,1})^5 : \left(\frac{2}{3}\right)^{20,6}; $

В) $ (3^{2,7})^3 : 3^{5,1}; $

Г) $ (\left(\frac{2}{3}\right)^{-3})^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5. $

а)

Для решения данного примера необходимо последовательно применить свойства степеней.
1. Сначала воспользуемся правилом возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
В выражении $(2^{-3})^2 \cdot 2^5$ преобразуем первый множитель:
$(2^{-3})^2 = 2^{-3 \cdot 2} = 2^{-6}$.
2. Теперь выражение принимает вид: $2^{-6} \cdot 2^5$.
Далее применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$2^{-6} \cdot 2^5 = 2^{-6+5} = 2^{-1}$.
3. В завершение используем определение степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней.
1. Вначале упростим первое выражение $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{4,1}\right)^5$, используя правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{4,1}\right)^5 = \left(\frac{2}{3}\right)^{4,1 \cdot 5} = \left(\frac{2}{3}\right)^{20,5}$.
2. Теперь исходное выражение имеет вид: $\left(\frac{2}{3}\right)^{20,5} : \left(\frac{2}{3}\right)^{20,6}$.
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$\left(\frac{2}{3}\right)^{20,5} : \left(\frac{2}{3}\right)^{20,6} = \left(\frac{2}{3}\right)^{20,5 - 20,6} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-0,1}$.
3. Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, можно записать ответ в другом виде:
$\left(\frac{2}{3}\right)^{-0,1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{0,1}$.
Ответ: $\left(\frac{3}{2}\right)^{0,1}$

в)

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней.
1. Сначала применим правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к выражению $(3^{2,7})^3$.
$(3^{2,7})^3 = 3^{2,7 \cdot 3} = 3^{8,1}$.
2. Теперь исходное выражение выглядит так: $3^{8,1} : 3^{5,1}$.
Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$3^{8,1} : 3^{5,1} = 3^{8,1 - 5,1} = 3^3$.
3. Вычислим полученное значение:
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Ответ: $27$

г)

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней.
1. Сначала упростим первый множитель $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\right)^2$, используя правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-3 \cdot 2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-6}$.
2. Теперь выражение имеет вид: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-6} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5$.
Далее применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$\left(\frac{2}{3}\right)^{-6} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-6+5} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$.
3. Наконец, используем свойство степени с отрицательным показателем для дроби: $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$.
$\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$