Номер 39.13, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.13, страница 154.

39.13 Схематично изобразите график показательной функции:

а) $y = (\sqrt{2})^x$;

б) $y = \left(\frac{1}{\pi}\right)^x$;

в) $y = (\sqrt{7})^x$;

г) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^x$.

Общий вид графика показательной функции $y=a^x$ зависит от значения основания $a$.

• Если $a > 1$, функция возрастает.
• Если $0 < a < 1$, функция убывает.

Во всех случаях график проходит через точку $(0, 1)$, так как $a^0 = 1$ для любого $a > 0$. Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), а область значений — все положительные действительные числа ($y > 0$). Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой.

а) $y = (\sqrt{2})^x$

Основание степени $a = \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $a > 1$.
Следовательно, функция является возрастающей.

График проходит через точку $(0, 1)$.
Найдем еще несколько точек для большей точности:
Если $x=1$, то $y = (\sqrt{2})^1 = \sqrt{2} \approx 1.41$.
Если $x=2$, то $y = (\sqrt{2})^2 = 2$.
Если $x=-2$, то $y = (\sqrt{2})^{-2} = \frac{1}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2} = 0.5$.
График представляет собой кривую, которая плавно возрастает, проходя через точки $(-2; 0.5)$, $(0; 1)$ и $(2; 2)$. При $x \to -\infty$, график приближается к оси Ox.

Ответ: График — возрастающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$ и лежащая в верхней полуплоскости.

б) $y = (\frac{1}{\pi})^x$

Основание степени $a = \frac{1}{\pi}$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $a \approx \frac{1}{3.14} \approx 0.318$.
Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей.

График проходит через точку $(0, 1)$.
Найдем еще несколько точек:
Если $x=1$, то $y = \frac{1}{\pi} \approx 0.32$.
Если $x=-1$, то $y = (\frac{1}{\pi})^{-1} = \pi \approx 3.14$.
График представляет собой кривую, которая плавно убывает, проходя через точки $(-1; \pi)$ и $(0; 1)$. При $x \to +\infty$, график приближается к оси Ox.

Ответ: График — убывающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$ и лежащая в верхней полуплоскости.

в) $y = (\sqrt{7})^x$

Основание степени $a = \sqrt{7}$. Так как $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{7} < 3$. В любом случае, $a > 1$.
Следовательно, функция является возрастающей.

График проходит через точку $(0, 1)$.
Так как основание $\sqrt{7} > \sqrt{2}$, эта функция возрастает быстрее, чем функция в пункте а).
Найдем еще несколько точек:
Если $x=1$, то $y = \sqrt{7} \approx 2.65$.
Если $x=2$, то $y = (\sqrt{7})^2 = 7$.
Если $x=-1$, то $y = (\sqrt{7})^{-1} = \frac{1}{\sqrt{7}} \approx 0.38$.
График — это круто возрастающая кривая, проходящая через точки $(-1; 1/\sqrt{7})$, $(0; 1)$ и $(2; 7)$. При $x \to -\infty$, график приближается к оси Ox.

Ответ: График — возрастающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$ и лежащая в верхней полуплоскости. Ее рост круче, чем у графика из пункта а).

г) $y = (\frac{1}{\sqrt{6}})^x$

Основание степени $a = \frac{1}{\sqrt{6}}$. Так как $\sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{6} < 3$, значит $0 < \frac{1}{\sqrt{6}} < \frac{1}{2}$.
Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей.

График проходит через точку $(0, 1)$.
Сравним основания с пунктом б): $\sqrt{6} \approx 2.45$ и $\pi \approx 3.14$. Так как $\sqrt{6} < \pi$, то $\frac{1}{\sqrt{6}} > \frac{1}{\pi}$. Для убывающих функций, чем больше основание, тем медленнее убывание. Значит, эта функция убывает медленнее, чем $y = (1/\pi)^x$.
Найдем еще несколько точек:
Если $x=1$, то $y = \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0.41$.
Если $x=-1$, то $y = (\frac{1}{\sqrt{6}})^{-1} = \sqrt{6} \approx 2.45$.
Если $x=-2$, то $y = (\frac{1}{\sqrt{6}})^{-2} = 6$.
График — это убывающая кривая, проходящая через точки $(-2; 6)$, $(-1; \sqrt{6})$ и $(0; 1)$. При $x \to +\infty$, график приближается к оси Ox.

Ответ: График — убывающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$ и лежащая в верхней полуплоскости. Ее убывание более пологое, чем у графика из пункта б).