Номер 39.16, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.16, страница 155.

39.16 Расположите числа в порядке возрастания:

a) $2^{\frac{1}{3}}$, $2^{1.5}$, $2^{\sqrt{2}}$, $2^{-\sqrt{2}}$, $2^{1.4}$, $1$;

б) $0.3^9$, $1$, $0.3^{-\sqrt{5}}$, $0.3^{\frac{1}{2}}$, $0.3^{-9}$, $0.3^{\frac{1}{3}}$.

a) Чтобы расположить числа $2^{\frac{1}{3}}$, $2^{1.5}$, $2^{\sqrt{2}}$, $2^{-\sqrt{2}}$, $2^{1.4}$, $1$ в порядке возрастания, мы воспользуемся свойствами показательной функции $y=a^x$.

Сначала представим все числа в виде степени с одинаковым основанием. Число $1$ можно записать как $2^0$. Таким образом, нам нужно сравнить числа: $2^{\frac{1}{3}}$, $2^{1.5}$, $2^{\sqrt{2}}$, $2^{-\sqrt{2}}$, $2^{1.4}$, $2^0$.

Основание степени $a=2$ больше единицы ($a>1$). Для показательной функции с основанием больше 1 справедливо правило: чем больше показатель степени, тем больше значение функции. Следовательно, чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, нам нужно расположить их показатели в порядке возрастания.

Сравним показатели степеней: $\frac{1}{3}$, $1.5$, $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$, $1.4$, $0$.

Для удобства сравнения, представим их в виде десятичных дробей (приблизительно):

• $-\sqrt{2} \approx -1.414$
• $0$
• $\frac{1}{3} \approx 0.333$
• $1.4$
• $\sqrt{2} \approx 1.414$
• $1.5$

Теперь расположим показатели в порядке возрастания:

$-\sqrt{2} < 0 < \frac{1}{3} < 1.4 < \sqrt{2} < 1.5$

Соответственно, исходные числа в порядке возрастания будут:

$2^{-\sqrt{2}} < 2^0 < 2^{\frac{1}{3}} < 2^{1.4} < 2^{\sqrt{2}} < 2^{1.5}$

Заменив $2^0$ обратно на $1$, получаем итоговый ряд.

Ответ: $2^{-\sqrt{2}}$, $1$, $2^{\frac{1}{3}}$, $2^{1.4}$, $2^{\sqrt{2}}$, $2^{1.5}$.

б) Чтобы расположить числа $0.3^9$, $1$, $0.3^{-\sqrt{5}}$, $0.3^{\frac{1}{2}}$, $0.3^{-9}$, $0.3^{\frac{1}{3}}$ в порядке возрастания, мы также воспользуемся свойствами показательной функции.

Представим число $1$ как $0.3^0$. Теперь нам нужно сравнить числа: $0.3^9$, $0.3^0$, $0.3^{-\sqrt{5}}$, $0.3^{\frac{1}{2}}$, $0.3^{-9}$, $0.3^{\frac{1}{3}}$.

Основание степени $a=0.3$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$). Для показательной функции с таким основанием справедливо правило: чем больше показатель степени, тем меньше значение функции (функция является убывающей). Следовательно, чтобы расположить данные числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), нам нужно расположить их показатели в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему).

Сравним показатели степеней: $9$, $0$, $-\sqrt{5}$, $\frac{1}{2}$, $-9$, $\frac{1}{3}$.

Для удобства сравнения, представим их в виде десятичных дробей (приблизительно):

• $9$
• $\frac{1}{2} = 0.5$
• $\frac{1}{3} \approx 0.333$
• $0$
• $-\sqrt{5} \approx -2.236$
• $-9$

Теперь расположим показатели в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему):

$9 > \frac{1}{2} > \frac{1}{3} > 0 > -\sqrt{5} > -9$

Поскольку функция $y=0.3^x$ убывающая, то меньшему значению функции соответствует больший показатель. Значит, числа в порядке возрастания будут расположены так:

$0.3^9 < 0.3^{\frac{1}{2}} < 0.3^{\frac{1}{3}} < 0.3^0 < 0.3^{-\sqrt{5}} < 0.3^{-9}$

Заменив $0.3^0$ обратно на $1$, получаем итоговый ряд.

Ответ: $0.3^9$, $0.3^{\frac{1}{2}}$, $0.3^{\frac{1}{3}}$, $1$, $0.3^{-\sqrt{5}}$, $0.3^{-9}$.